devoir maison Probabilites

[Sphyrna]

Bonsoir!

J'ai des exercices de probabilités à faire pour la rentrée et je n'ai pas réussi la dernière question de l'exo, si je suppose que le reste est juste. Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider? Merci d'avance.

Voici l'énoncé :

Une urne contient 3 boules bleues et 2 boules rouges indiscernables au toucher. Le jeu consiste à effectuer n tirages successifs, n é tant un entier supérieur ou égal à 1, d'une boule en respectant la règle suivante :
Si la boule tirée est bleue, on la remet dans l'urne ; si elle est rouge, on ne la remet pas.
Pour tout entier k variant de 1 à n, on note :
$B_k$ « la k-ième boule tirée est bleue »
$Rk_$ « la k-ième boule tirée est rouge »

Les réponses aux questions 1/ et 2/ seront données sous forme de fractions irréductibles.

1/ Dans cette question, on effectue deux tirages, n=2.

a/ Calculer la probabilité pour que la deuxième boule tirée soit bleue.

b/ Sachant que la deuxième boule tirée est bleue, calculer la probabilité pour que la première soit rouge.

2/ Dans cette question on effectue trois tirages, n=3.

a/ Décrire cette épreuve par un arbre pondéré. Cet arbre aura valeur de preuve et pourra, dans certaines questions, êre utilisé sans autre justification.

b/ Calculer la probabilité pour que la troisième boule tirée soit bleue.

c/ Montrer que la probabilité pour que la deuxième et la troisième boule tirées soient bleues est égale à 441/1000.
Sachant que la troisième boule tirée est bleue, calculer la probabilité pour que la deuxième soit également bleue.
Sachant que la deuxième boule tirée est bleue, calculer la probabilité pour que la troisième soit également bleue.

3/ Calculer, en fonction de l'entier n, la probabilité $P_n$ de tirer au moins une boule rouge quand on effectue n tirages.
Déterminer la plus petite valeur de l'entier n pour laquelle $P_n$≥0.999.

Mes réponses :

1/a. J'ai fait un arbre :

On doit calculer P(B2).
P(B2)=P(B2∩B1)+P(B2∩R1)
$P(B2)=P_{B1}$(B2)×$P(B1)+P_{R1}$(B2)×P(R1)
P(B2)=(3/5)×(3/5)+(3/4)×(2/5)=(9/25)+(6/20)=33/50
P(B2)=33/50

b. $P_{B2}$(R1)= P(B2∩R1)/P(B2)
$P_{B2}$(R1)= $P_{R1}$(B2)×P(R1)/P(B2)
$P_{B2}$(R1)=(3/4×3/5)/(33/50)=3/10×50/33=5/11
$P_{B2}$(R1)=5/11

2/a.

b. On doit calculer P(B3).
P(B3)= P(B1∩B2∩B3)+ P(B1∩R2∩B3)+ P(R1∩B2∩B3)+ P(R1∩R2∩B3)
$P(B3)=P_{B1\cap B2}$(B3)×$P_{B1}$(B2)×$P(B1)+P_{B1\cap R2}$(B3)×$P_{B1}$(R2)×P(B1)+ $P_{R1\cap B2}$(B3)×$P_{R1}$(B2)×P(R1)+ $P_{R1\cap R2}$(B3)×$P_{R1}$(R2)×P(R1)
P(B3)=3/5×3/5×3/5+3/4×2/5×3/5+3/4×3/4×2/5+1×1/4×2/5=721/1000
P(B3)=721/1000

c. P(B2∩B3)= P(B1∩B2∩B3)+ P(R1∩B2∩B3)
P(B2∩B3)= $P_{B1\cap B2}$(B3)×$P_{B1}$(B2)×P(B1)+ $P_{R1\cap B2}$(B3)×$P_{R1}$(B2)×P(R1)
P(B2∩B3)=3/5×3/5×3/5+3/4×3/4×2/5
P(B2∩B3)=441/1000

$P_{B3}$(B2)= P(B3∩B2)/P(B3)= 441/1000×721/1000=441/721

$P_{B2}$(B3)= P(B3∩B2)/P(B2)=441/1000×50/33=147/220

3/ Je pense qu’il faut calculer $P(R_n$)
$P(R_n$)=1/n
Tout ce que j’ai pu trouver pour cette question :

$P(R_n$)=[P(B)-$\sum_{i=1}^{n-1}{p_{r_{i}}(b).$p(r_{i})}$]/P_{Rn}$(B)