congruences ax = b [p] - spe maths: au secours!!



  • Bonjour tout le monde et bonne année à tou!
    J'ai un très gros problème en spe maths: il y a exercice que je ne compren absolument et j'aimerais beaucoup avoir la methode afin de le comprendre et de le reussir.

    Voici la consigne:
    1/ calcul modulo 7
    a) pour tous les entiers a de 1 à 6, donnez l'unique entier y compris entre 1 et 6 tel que ay≡1[7]

    pour cette question , j'ai trouvé pour chaque cas l'unique entier mais j'ai un problème pour le rédiger.

    b) pour x entier relatif, montrer que l'equation 3x ≡ 5 [7] equivaut à x ≡ 4[7]
    j'ai essayé de faire la methode de la resolution de l'equation avec les congruences mais je n'arrive pas à trouver ce qu'ils veulent

    c) si a est entier de [1;6], montrer que les seules solutioons de l'equation ax ≡ 0 [7] sont les multiples de 7.

    ici mon point de depart a été que puisque ax ≡ 0 [7] alors ax=7k mais je ne sais pas quoi en déduire, la question est-elle traitée juste en disant cela?

    ET VOILA LES PRINCIPALES QUESTIONS QUI ME POSENT PROBLEME:

    2/ Soit p un nombre prmeier superieur ou egal à 3

    a) soit a un entier naturel non nul strictement inferieur à p; montrer que a^(p-2) est solution d el'equation ax ≡ 1[p]

    b) soit r le reste de la division euclidienne de a^(p-2) par p; montrer que r est le seul entier naturel inferieur à p qui soit solution de ax ≡ 1[p]

    c) soit x et y deux entiers relatifs; demontrer que xy ≡ 0[p] si et seulement si, x est un multiple de p ou y est un multiple de p.

    1. application: trouver les solutions entières ans [1;30] des equations:
      2x ≡ 1 [31] et 3x ≡ 1[31]

    finalment resoudre dans Z l'equation 6x²-5x+1 ≡ 0 [31]

    merci d'avance 🙂



  • Bonjour

    Je commence un peu ; quelqu'un prendra la suite.

    C'est la question 1 qui est déterminante pour tout cet exercice. Elle montre que d'une certaine façon et sous certaine condition on peut "diviser" par le coefficient dans les équations ax ≡ ... [p], où p est premier.

    Citation
    1/ calcul modulo 7
    a) pour tous les entiers a de 1 à 6, donnez l'unique entier y compris entre 1 et 6 tel que ay≡1[7]
    Pb de rédaction ? Simplement exhibe ce nombre (appelé inverse modulo 7), au moyen d'un calcul comme

    2×4 = 8 = 1 + 7 ≡ 1[7]
    donc 2 et 4 sont inverses modulo 7

    rappel : x et y sont *inverses *l'un de l'autre lorsque leur produit xy =1.

    Citation
    b) pour x entier relatif, montrer que l'equation 3x ≡ 5 [7] equivaut à x ≡ 4[7]
    Sers-toi ici de l'inverse de 3 modulo 7 que tu as dû trouver.

    Citation
    c) si a est entier de [1;6], montrer que les seules solutioons de l'equation ax ≡ 0 [7] sont les multiples de 7.
    Même principe : on élimine le coefficient* a* au moyen d'une multiplication par l'inverse modulo 7 de celui-ci.



  • merci, je vais le faire et je donne ma reponse après



  • Citation
    b) pour x entier relatif, montrer que l'equation 3x ≡ 5 [7] equivaut à x ≡ 4[7]
    Sers-toi ici de l'inverse de 3 modulo 7 que tu as dû trouver.

    l'inverse de 3 modulo 7 est 5. Je dois multiplier 3 par 5?



  • Oui, car ce faisant tu as bien

    3x ≡ 5 [7] (tout fois 5)
    15x ≡ 25 [7]
    1x ≡ 4 + 21 [7]
    x ≡ 4 [7]

    Ok ?



  • Comment tu fais por passer de 15x à 1x sans toucher à 25?
    ( désolée si c'est une question un peu bête :s)



  • il n'y a que rarement des questions bêtes ; tu fais bien de demander

    je n'ai pas détaillé 15 = 1 + 14 ≡ 1 [7]

    ou bien c'est tout simplement parce que 3×5 ≡1 [7], puisque 3 et 5 sont inverses modulo 7



  • AHHH d'accord merci beaucoup !


Se connecter pour répondre
 

Découvre aussi nos cours et fiches méthode par classe

Les cours pour chaque niveau

Encore plus de réponses par ici