specialite : PGCD et équation



  • Bonsoir!
    J'ai du mal à faire cet exercice d'arithmétique. J'espère que quelqu'un pourra m'aider. Merci d'avance.

    On considère, lorsque n appartient à N*, les deux entiers a et b :

    a=11n+3 et b=13n-1
    1/ Démontrer que tout diviseur de a et b est un diviseur de 50.

    En déduire que :

    PGCD(a;b)=PGCD(a;50)
    2/ Résoudre dans N*², l'équation :

    50x - 11y = 3
    En déduire les valeurs de n pour lesquelles les nombres a et b ont pour plus grand commun diviseur.

    3/ Pour quelles valeurs de n, les nombres a et b ont-ils 25 pour plus grand commun diviseur?

    J'ai seulement trouvé pour la question 2 que (x;y)=(6;27)
    Donc la solution générale de l'équation homogène est
    x=11h+6
    y=50h+27



  • Re bonjour,
    Soit d un diviseur commun de a et de b.
    Que divise-t-il aussi ? a+b, a-b, 2a + 17b, autre chose fabriqué sur le même modèle.



  • donc d divise notamment la combinaison entière
    13(11n+3)-11(13n-1)=39+11=50
    donc d divise 50! C'est ça?



  • Oui.
    Mais je vois à nouveau un énoncé incomplet :
    Citation
    En déduire les valeurs de n pour lesquelles les nombres a et b ont pour plus grand commun diviseur
    Quel plus grand commun diviseur ?



  • Merci!!!!!!!!
    50 divise a et 50 divise b
    d'autre part 50 divise a et 50 divise 50 donc PGCD(a,b)=PGCD(a,50) C'est juste aussi, j'espère?

    Pour la 2/, veuillez m'excuser encore une fois :

    ... les valeurs de n pour lesquelles les nombres a et b ont 50 pour plus grand commun diviseur.



  • Citation
    50 divise a et 50 divise b
    d'autre part 50 divise a et 50 divise 50 donc PGCD(a,b)=PGCD(a,50) C'est juste aussi, j'espère?Non. Par exemple pour n = 3, a = 36 et b = 38.
    50 ne divise ni l'un ni l'autre.
    Mais tout diviseur commun de a et b ( sur cet exemple il n'y a que 1 et 2 ) est aussi un diviseur de 50.
    Raisonne sur les diviseurs communs de a et b.

    Tous sont aussi des diviseurs communs de a et 50.
    Réciproquement, tout diviseur commun de a et 50 est-il un diviseur commun de a et b ?
    Il suffit de voir si c'est un diviseur de b.



  • Soit d' un diviseur commun à a et à 50.
    d' divise la combinaison entière 13a-50=11b donc d' divise b, donc tout diviseur commun à a et à 50 est un diviseur de b, donc il en est de même pour le PGDC.
    d'où PGCD(a;b)=PGCD(a;50)



  • Citation
    d' divise la combinaison entière 13a-50=11b donc d' divise bNon : d' pourrait être égal à 11.
    Mais si d' =11, peut-il diviser a ?



  • Non, il ne peut pas diviser a parce que a est divisible par 50 qui n'est pas divisible par 11.



  • Ton raisonnement est faux :
    pour commencer, je t'ai déjà dit plus haut que a n'est pas forcément divisible par 50.
    Ensuite, a pourrait être divisible quand même par 11 ( qu'il soit ou non divisible par 50).
    Il faut utiliser le fait que a = 11n + 3



  • a-3 =11n est divisible par 11 ?



  • Si 11 est un diviseur de a = 11n+3, alors il divise aussi 3, ce qui est faux.
    Donc 11 n'est pas un diviseur de a.
    Par suite, cette éventualité étant écartée, on peut bien dire cette fois que
    Citation
    d' divise la combinaison entière 13a-50=11b donc d' divise b

    En résumé :
    tout diviseur commun de a et b divise a et 50 ;
    tout diviseur commun de a et 50 divise a et b.
    Donc, puisque c'est vrai pour tout diviseur, les diviseurs communs sont les mêmes, y compris le PGCD, d'où la conclusion.



  • J'ai compris, mais je ne suis pas sûre d'être capable de reproduire le même raisonnement la prochaine fois. ( j'essaierai bien sûr...)



  • Tu peux toujours essayer ( mais plus tard ) de recommencer le même exercice : n'hésite pas à poser des questions si tu commets des erreurs.

    Pour la question 2, c'est presque ça . Mais tu dois préciser dans quel ensemble se promène h.



  • Je reviens.



  • Merci beaucoup pur votre aide. 🙂 Mais notre prof d'arithmétique n'aime pas qu'on pose des questions.

    Pour la question 2, h est un entier naturel quelconque. Est-ce que je dois démontrer que PGCD(a;50)=50 ? Parce que si a est inférieur à 50, leur PGCD ne peut pas être 50. Ou alors, j'ai le droit de supposer que a ≤ 50 ?



  • Tu peux poser tes questions ici ou sur mon site.

    h est en effet un entier naturel ( i.e. positif ou nul ).
    Tu ne dois pas "démontrer" que PGCD(a,50) = 50, mais chercher pour quelles valeurs de n cela est vrai.
    Supposer a ≥ 50 est correct mais ne sert à rien. On cherche n, et on verra bien sur des exemples ce que valent a et b.
    Pour trouver les valeurs de n convenables, tu dois bien entendu utiliser les résultats de ton équation.
    Pour commencer, que peut-on dire de a si PGCD(a,50) = 50 ?
    ( De plus précis que a ≥ 50 ).
    Tu ne trouves pas ?
    Quel est le PGCD(8,4) ? PGCD(12,3) ? PGCD(150,50) ?
    que peut-on dire de a si PGCD(a,50) = 50 ?



  • Je pense à la propriété caractéristique du PGCD.
    Comme PGCD(8;4)=4, PGCD(12;3)=3 et PGCD(150;50)=50, et que PGCD(a;50)=50, il existe un entier a' tel que a=a' 50 .

    PGCD(a;b)=50 donc a=50a' et b=50b'
    a' et b' sont des entiers quelconques.
    a=50a' b=50b'
    11n+3=50a' 13n-1=50b'

    la première équation a pour solution :
    a'=11h+6
    n=50h+27
    si h=0 alors a'=6 et n=27
    50x6-297=3
    il faut que je vérifie avec l'autre équation.
    50b'=13n-1
    13x27-1=350, 350 est bien un multiple de 50.
    Il faut ensuite vérifer que a' et b' sont premiers entre eux.
    a'=6 et b'=7 donc c'est bon?
    Mais je vais devoir continuer comme ça jusqu'à l'infini?



  • Citation
    a' et b' sont des entiers quelconques.Non : a' et b' sont premiers entre eux, d'ailleurs tu le précises plus loin.

    Il suffit de dire : PGCD(a,b) = PGCD(a,50) ( donc inutile de s'encombrer de b ).
    PGCD(a,50) = 50 ⇔ a est un multiple de 50 : a = 50 a' où a' est un entier ( positif puisque a l'est ).
    Mais a = 11n + 3, donc on a :
    50a' - 11n = 3 dont on connaît les solutions.

    n = 27 + 50h où h est un entier naturel.
    C'est tout puisque l'on cherche n.
    C'est seulement si on le souhaite que l'on peut donner des exemples : par exemple, pour h = 0, on trouve n = 27 et donc a = 300 et b = 350. On vérifie que leur PGCD est bien 50.



  • C'était donc pour simplifier que l'on préfère travailler sur PGCD(a;50), au lieu de PGCD(a;b) ?
    J'ai compris et je calque sur le même modèle pour la question 3 :
    PGCD(a;b)=PGCD(a;50) donc si PGCD(a;50)=25
    a=25a', a' entier naturel et a=11n+3
    donc 25a'-11n=3
    Je résouds d'abord l'équation homogène 25a'-11n=0
    Je trouve a'=11h et n=11k, puis h=k donc a'=11h et n=11h, h un entier naturel.
    Le couple (1;2) convient donc a'=11h+1 et n=2+11h

    Donc n=2+11h pour PGCD(a;b)=25. Est-ce que je dois aussi justifer comment j'ai trouvé (1;2) ?



  • Citation
    C'était donc pour simplifier que l'on préfère travailler sur PGCD(a;50), au lieu de PGCD(a;b) ?Bien sûr

    Citation
    PGCD(a;b)=PGCD(a;50) donc si PGCD(a;50)=25
    a=25a', a' entier naturel et a=11n+3Attention : pour que le PGCD soit 25 et pas 50, a' ne doit pas être un entier naturel quelconque : il est fondamental de préciser qu'il doit être ??

    Citation
    a'=11h+1 et n=2+11hOui pour a' ( à condition de préciser h qui n'est pas quelconque ), mais non pour n : tu as dû faire une faute de frappe.



  • Bonsoir!
    n=25h+2 c'est juste? h entier naturel.
    PGCD(a;50)=25 et a=50a' et 50=2x25.
    a' premier avec 2, c'est-à-dire a' est un entier naturel impair.



  • Bonjour,
    Oui : n = 25h + 2 et a' impair.

    Mais alors, puisque a' doit être impair, comment faut-il que h soit ?
    N'oublie pas que a' = 1 + 11h.



  • h doit être pair pour que 11h soit pair, pour que a' soit soit impair ?



  • C'est ça.
    Vérifie sur un exemple : par exemple pour h = 0 ( naturel pair ) , calcule a et b, et vérifie que leur PGCD est bien 25.



  • Pour h=0, a=25 et b=25 donc leur pgcd est forcément 25 .

    Si je comprends bien, il suffit de faire très attention à chaque détail pour réussir un exo d'arithmétique? J'ai remarqué que vous avez beaucoup insisté sur la nature de h, n et a'; si on ne précisait pas que ce sont des entiers naturels ou impairs, la suite serait fausse.
    En tout cas, merci beaucoup pour votre aide. Je sens que j'ai fait des progrès dans le raisonnement mathétique. (ce que je vais tout de suite vérifier dans un autre exo)



  • De rien.
    A bientôt.



  • 😄


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