Calcul du module et argument d'un nombre complexe

Bonjour,

a)On pose $u=∨32−i2u=\frac{\vee3 }{2}- \frac{i}{2}$
Calculer le module et un argument de $u+iuˉu+i\bar{u}$

b) Vérifier que $cos⁡θ+sin⁡θ=2cos⁡(θ−pi4)\cos \theta + \sin \theta = \sqrt{2} \cos (\theta -\frac{pi}{4})$

Pour $u+iuˉu+i\bar{u}$ j'ai trouvé $3−12+i(3−12)\frac{\sqrt{3}-1}{2}+ i (\frac{\sqrt{3}-1}{2})$
Mais je pense qu'il y a une erreur parce que j'arrive pas à calculer l'argument.

Merci d'avance.

Bonjour,
Tu sais déjà comment calculer le module d'un complexe de la forme x + iy ?

Oui c'est $x2+y2\sqrt{x^2+y^2}$

Avec ici, x = (√3 -1)/2 et y = (√3 -1)/2
Effectue les calculs.

0.51

Peut-être, mais tu dois donner la valeur exacte ( avec des racines carrées ) et pas une valeur approchée.

c'est $2−3\sqrt{2-\sqrt{3}}$

Oui.
Et pour l'argument :
Si z = x+iy, d'argument ω, comment exprimes-tu cos ω, sin ω, et tan ω ?

$\theta = \frac{re}{module}$

et $sin⁡θ=immodule\sin \theta =\frac{im}{module}$

Et la tangente ?
Parce qu'ici, c'est le plus simple.

J'ai pas de formule pour la tangente

Ah bon ! tu sais pourtant que tan ω = sin ω / cos ω ?

Ah oui ca je sais, mais pour calculer un argument on n'utilise que les les cosinus et les sinus. Enfin c'est la méthode qu'on a pour le moment.

Oui, mais ici c'est beaucoup plus simple d'utiliser la tangente.
Sinon, libre à toi d'utiliser le cosinus et le sinus : donne leurs valeurs exactes.

Dans les deux cas j'arrive pas à donner une valeur exacte

Ici, cos ω = x / |z| = [(√3 -1)/2] / [√(2-√3)]
L'écriture se simplifie.
Mais cela complique tout.
Que vaut le sinus ?

C'est bon j'ai fait avec la tangente, je trouve 1 donc $θ\theta$ = $pi4\frac{pi}{4}$

Merci de votre aide.

La tangente vaut 1.
Donc l'argument vaut π/4 ou - π/4 ( modulo 2π ).
Alors ici, comment trancher entre les deux ?

C'est une bonne question, j'en ai aucune idée.

J'ai essayé soit l'un soit l'autre avec la question b et je sais pas.

Il faut quand même pour répondre utiliser le cosinus ou le sinus, mais pas besoin de les calculer : il suffit pour trancher de connaître le signe du cosinus par exemple.
cos ω = [(√3 -1)/2] / [√(2-√3)] : quel est son signe ?

Positif donc π/4 ( modulo 2π )

Mais pour la vérification à la question b), il faut pas remplacer théta par π/4 ?

Pour la question b, je te conseille de calculer cos (θ -π/4) en utilisant la formule
cos (a - b) = ...

dans le calcul je remplace $22\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $12\frac{1}{\sqrt{2}}$ pour pouvoir passer la racine de l'autre côté ?

Oui, mais calcule d'abord cos (θ -π/4) en utilisant la formule
cos (a - b) = ...
Tu t'occuperas du multiplicateur √2 ensuite.

J'ai fait :

$cos(θ−pi4)=cosθ∗cospi/4+sinθ∗sinpi/4cos(\theta -\frac{pi}{4})= cos \theta * cos pi/4 + sin \theta * sin pi/4$
$cos(θ−pi4)=cosθ∗22+sinθ∗22cos(\theta -\frac{pi}{4})= cos \theta * \frac{\sqrt{2}}{2} + sin \theta * \frac{\sqrt{2}}{2}$
$cos(θ−pi4)=22(cosθ+sinθ)cos(\theta -\frac{pi}{4})= \frac{\sqrt{2}}{2}(cos \theta + sin \theta)$
$cos(θ−pi4)=12(cosθ+sinθ)cos(\theta -\frac{pi}{4})= \frac{1}{\sqrt{2}}(cos \theta + sin \theta)$
$2∗cos(θ−pi4)=cosθ+sinθ\sqrt{2 *}cos(\theta -\frac{pi}{4})= cos \theta + sin \theta$

Merci de votre aide.

De rien.