Dm sur la racine cubique de 1 et sur le triangle equilatéral ( Complexes)



  • Bonjour, j'ai un Dm a faire pour lundi et ce dernier exercice me pose vraiment un problème ! J'aimerais avoir quelques pistes si possible afin de pouvoir le résoudre le but de l'exercice étant de trouver les solutions dans C de z^3=1 puis de les utiliser pour caractériser un triangle équilatéral 🙂

    1. Lorsque z≠0, on note r son module et θ son argument défini dans [0;2π], ainsi que z=re^i θ

    a) prouver que z^3=1 équivaut à r=1 et 3 θ=2kπ (k∈Z)
    b) on est donc amené a résoudre (E): 3 θ=2kπ , les solutions de (E) sont les réels θ(indice k)= 2kπ/3, (k∈Z)

    • Donner les valeurs de θ1,θ2,θ3 obtenues lorsque k=0, k=1 et k=2 et en déduire les complexes 1, e^i(2π/3), e^i(4π/3) sont solutions de l'équation z^3=1. représenter ensuite les points image M0, M1, M2 ( évidemment les questions se suivent, sans arriver a commencer, je ne peux pas faire la suite :'()

    Maintenant vérifier lorsque k=3p, θk=θ0, lorsque k=3p+1, θk=θ1, lorsque k=3p+2, θk=θ2, puis conclure.
    c) Démontrer que les points images Mo, M1, M2 sont les sommets d'un triangle équilatéral.
    d) Les complexes solutions de l'équation z^3=1 sont les racines cubiques de 1, on note j le nombre e^i((2π/3), d'où j^3=1. Vérifier que 1+j+j²=0 et que j (barre)=j²=e^(-2iπ/3)

    1. le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct (O,u,v), A;B;C sont trois points distincts 2 à 2 d'affixes a,b,c. ( j'en ai déduit que a-b=e^i(π/3)(c-b) car ABC est un triangle équilatéral) et donc il faut démontrer grâce a la question 1. que "ABC est équilatéral
      direct" équivaut à "a+bj+cj²=0"

    2. A tout complexe z≠1, on associe les points R, M et M' d'affixes 1,z, z (barre).

    a) pour quelles valeurs de z, les points M et M' sont ils distincts ?
    b) En supposant que la condition précédente soit réalisée, prouver que l'ensemble Δ des points M d'affixe z tel que le triangle RMM' soit équilatéral direct en une droite privée d'un point.

    Merci de m'aider, je ne comprends vraiment pas du tout cet exercice qui est issu d'un TD ! 😕 Mae137


Se connecter pour répondre