Dm sur la racine cubique de 1 et sur le triangle equilatéral ( Complexes)
-
Mmae137 dernière édition par
Bonjour, j'ai un Dm a faire pour lundi et ce dernier exercice me pose vraiment un problème ! J'aimerais avoir quelques pistes si possible afin de pouvoir le résoudre le but de l'exercice étant de trouver les solutions dans C de z^3=1 puis de les utiliser pour caractériser un triangle équilatéral
- Lorsque z≠0, on note r son module et θ son argument défini dans [0;2π], ainsi que z=re^i θ
a) prouver que z^3=1 équivaut à r=1 et 3 θ=2kπ (k∈Z)
b) on est donc amené a résoudre (E): 3 θ=2kπ , les solutions de (E) sont les réels θ(indice k)= 2kπ/3, (k∈Z)- Donner les valeurs de θ1,θ2,θ3 obtenues lorsque k=0, k=1 et k=2 et en déduire les complexes 1, e^i(2π/3), e^i(4π/3) sont solutions de l'équation z^3=1. représenter ensuite les points image M0, M1, M2 ( évidemment les questions se suivent, sans arriver a commencer, je ne peux pas faire la suite :'()
Maintenant vérifier lorsque k=3p, θk=θ0, lorsque k=3p+1, θk=θ1, lorsque k=3p+2, θk=θ2, puis conclure.
c) Démontrer que les points images Mo, M1, M2 sont les sommets d'un triangle équilatéral.
d) Les complexes solutions de l'équation z^3=1 sont les racines cubiques de 1, on note j le nombre e^i((2π/3), d'où j^3=1. Vérifier que 1+j+j²=0 et que j (barre)=j²=e^(-2iπ/3)-
le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct (O,u,v), A;B;C sont trois points distincts 2 à 2 d'affixes a,b,c. ( j'en ai déduit que a-b=e^i(π/3)(c-b) car ABC est un triangle équilatéral) et donc il faut démontrer grâce a la question 1. que "ABC est équilatéral
direct" équivaut à "a+bj+cj²=0" -
A tout complexe z≠1, on associe les points R, M et M' d'affixes 1,z, z (barre).
a) pour quelles valeurs de z, les points M et M' sont ils distincts ?
b) En supposant que la condition précédente soit réalisée, prouver que l'ensemble Δ des points M d'affixe z tel que le triangle RMM' soit équilatéral direct en une droite privée d'un point.Merci de m'aider, je ne comprends vraiment pas du tout cet exercice qui est issu d'un TD !
Mae137