PGCD et équations diophantiennes (maths spécialité)

Bonjour!
Il s'agit d'un exercice de maths spécialité sur les PGCD, et c'est la première fois que j'ai pu en finir un en entier, sans être sûre que ce soit juste. J'aimerais bien que l'on me dise si ce que j'ai fait est correct.
Merci d'avance.

Le nombre n est un entier naturel non nul.
On pose : a=4n+3 et b=5n+2
et on note:
d le PGCD de a et b.

1/ Donner la valeur de d dans les trois cas suivants :
n=1, n=11 et n=15.

2/ Calculer 5a-4b et en déduire les valeurs possibles de d.
3/a. Déterminer les entiers naturels n et k tels que :
4n+3=7k
b.Déterminer les entiers naturels k' tels que :
5n+2=7k' .
4/ Soit r le reste de la division euclidienne de n par 7. Des questions précédentes, déduire la valeur de r pour laquelle d vaut 7.
Pour quelles valeurs de r, d est-il égal à 1?

1/ pour n=1, a=7 et b=7. PGCD(7;7)=7
n=11, a=47 et b=57 PGCD(47;57)=1
n=15, a=63 et b=77 PGCD(63,77)=7

2/ 5a-4b=5(4n+3) - 4(5n+2)=15-8=7
d|5a-4b donc d|7 c-a-d d=1 ou d=7.

3/a. 4n+3=7k est une équation homogène dont les solutions sont
n=7h+1
k=4h+1 avec h entier quelconque.
(1;1) étant la solution particulière.
b. 5n+2=7k' la solution particulière est encore (1;1) donc on trouve
k'=5x+1
n=7x+1 avec x entier quelconque.

4/ C'est r=1 parce que c'est le reste dans toutes les divisions euclidiennes précédentes par 7.

Comme dans les division euclidiennes précédentes le diviseur est 7, alors la condition sur le reste est :
0≤r<7
donc r prend les valeurs 0,1,2,3,4,5,6.
Si pour r=1, d=7, alors nécessairement pour d=7, r prend les valeurs 0,2,3,4,5 et 6. Je ne sais pas si cette justification est bonne car elle me semble un peu superficielle. :S :S

Bonjour,
Tout va bien jusqu'à la question 4.
Toutefois, question 3 : Dans les deux cas, n est de la forme n = 7y + 1.
Il vaudrait donc mieux "homogénéiser" les notations :
3a) : n = 7x+1 et k = 4x+1
3b) n = 7x+1 et k' = 5x + 1
Mais bien sûr, ce n'est pas nécessairement le même x.

Citation
C'est r=1 parce que c'est le reste dans toutes les divisions euclidiennes précédentes par 7.Là je ne comprends pas ce que tu veux dire.
d = 7 ⇔ n = 7x + 1 ⇔le reste est 1
d = 1 ⇔ r ≠ 1 ( donc 0,2,3,4,5, ou 6) car d=7 et d=1 sont les deux seuls cas possibles.
Citation
Si pour r=1, d=7, alors nécessairement pour d=7, r prend les valeurs 0,2,3,4,5 et 6.tu veux dire "alors pour d = 1 ..." ?

Bonjour!

Je vous remercie de m'avoir répondu.
Dans les questions 2 et 3, je voulais dire qu'on obtient toujours 1 comme reste, donc c'est le seul reste possible quand le diviseur est 7.

Pour la fin de la question 4, j'ai fait une faute de frappe. Je voulais dire d=1.

Citation
Dans les questions 2 et 3, je voulais dire qu'on obtient toujours 1 comme reste, donc c'est le seul reste possible quand le diviseur est 7.Oui, mais cela demande peut-être une rédaction plus détaillée :
par exemple :
Le PGCD est 7 lorsque a et b sont tous deux des multiples de 7, c'est-à-dire lorsque 4n+3 = 7k et 5n+2=7k'.
On a vu alors ( questions 3a et 3b ) que n est de la forme (multiple de 7) + 1. Le reste est donc 1.

Je comprends mieux maintenant, je n'avais pas remarqué ce lien entre les questions.
Merci!

Bon, alors je résume :

des exemples pour se "mettre en jambes"
Le PGCD est soit 1 soit 7
a et b sont tous deux des multiples de 7 lorsque n est de la forme (multiple de 7) + 1
Conséquence de ce qui précède.

Bonjour,
ce n'est pas le même schéma que l'autre exo d'arithmétique avec les PGCD? Notre prof n'a même voulu le corriger parce qu'il dit que c'est la même chose.

Bonjour,
Globalement, cela fait appel aux mêmes notions : PGCD et équation de Bézout.
Le problème se présente également sous la forme : a et b sont donnés en fonction d'un entier n.
Mais les questions et les buts à atteindre peuvent varier plus ou moins.