carrés scalaires - diagonales d'un quadrilatère perpendiculaires



  • Bonjour,

    J'ai un exercice qui me pose pas mal de soucis. J'ai pas trop d'idée et j'aimerai bien un peu d'aide svp.

    Le but de l'exercice est de démontrer que :

    AB² - BC² + CD² - AD² = 2(AC.DB)
    (ACet DB étant des vecteurs), pour déduire une condition nécessaire et suffisante pour que les diagonales d'un quadrilatère soient perpendiculaires.

    On nous dis de plus que :

    Nous ne disposons d'aucune hypothèse sur les quatres points. Dans ce cas, il est toujours possible de se placer dans un repère orthonormal car il n'y a aucun calcul faire pour les coordonnées des points. Cependant, ici , l'écriture AB² - BC² peut également suggérer une solution vectorielle.

    En effet, ll u ll² - ll v ll² = (u+v) . (u-v)

    Il s'agit de trouver une condition nécessaire et suffisante ( donc une proposition équivalente) pour que les diagonales (AC) et (BD) du quadrilatère ABCD soient perpendiculaires.

    1) Traduisez vectoriellement : " les diagonales (AC) et (BD) sont perpendiculaires"

    2) Compte tenu de la question 1 donnez une condition nécessaire et suffisante pour que les diagonales du quadrilatère ABCD soient perpendiculaires.

    a) Démontrez que

    AB²-BC² = AC.(AB + CB)
    et que

    CD²-AD² = CA.(CD + AD)

    b) Déduisez - en l'égalité

    J'ai essayé de développer l'égalité de départ mais je ne tombe pas sur ce qui est attendu.

    edit de Thierry : merci de donner des titres significatifs



  • Bonjour

    Prends les questions dans l'ordre : *1) Trauisez vectoriellement : " les diagonales (AC) et (BD) sont perpendiculaires" *


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