carrés scalaires - diagonales d'un quadrilatère perpendiculaires

Bonjour,

J'ai un exercice qui me pose pas mal de soucis. J'ai pas trop d'idée et j'aimerai bien un peu d'aide svp.

Le but de l'exercice est de démontrer que :

AB² - BC² + CD² - AD² = 2(AC.DB)
(ACet DB étant des vecteurs), pour déduire une condition nécessaire et suffisante pour que les diagonales d'un quadrilatère soient perpendiculaires.

On nous dis de plus que :

Nous ne disposons d'aucune hypothèse sur les quatres points. Dans ce cas, il est toujours possible de se placer dans un repère orthonormal car il n'y a aucun calcul faire pour les coordonnées des points. Cependant, ici , l'écriture AB² - BC² peut également suggérer une solution vectorielle.

En effet, ll u ll² - ll v ll² = (u+v) . (u-v)

Il s'agit de trouver une condition nécessaire et suffisante ( donc une proposition équivalente) pour que les diagonales (AC) et (BD) du quadrilatère ABCD soient perpendiculaires.

1) Traduisez vectoriellement : " les diagonales (AC) et (BD) sont perpendiculaires"

2) Compte tenu de la question 1 donnez une condition nécessaire et suffisante pour que les diagonales du quadrilatère ABCD soient perpendiculaires.

a) Démontrez que

AB²-BC² = AC.(AB + CB)
et que

CD²-AD² = CA.(CD + AD)

b) Déduisez - en l'égalité

J'ai essayé de développer l'égalité de départ mais je ne tombe pas sur ce qui est attendu.

edit de Thierry : merci de donner des titres significatifs

Bonjour

Prends les questions dans l'ordre : *1) Trauisez vectoriellement : " les diagonales (AC) et (BD) sont perpendiculaires" *