Division euclidienne et congruences



  • Bonsoir, j'ai un exercice que j'ai trouvé sur un livre dont je ne trouve pas la méthode pour le résoudre.Sachant qu'il y a plusieurs exercices de ce même type, pouvez vous me donner une correction avec les détails pour que je puisse l'avoir en "type" ? Voici l'énoncé:

    1.a) Déterminer suivant les valeurs de l'entier naturel non nul n le reste dans la division euclidienne par 9 de 7n7^n.
    b)Démontrer alors que (2005)20057(9)(2005)^{2005}\equiv7(9).

    2.a) Démontrer que pour tout entier naturel non nul n: (10)n1(9)(10)^n\equiv1(9).
    b) On désigne par N un entier naturel écrit en base 10, non appelle S la somme de ses chiffres.
    Démontrer la relation suivante: ns(9)n\equiv s(9)
    c) En déduire que N est divisible par 9 si et seulement si S est divisible par 9.

    1. On suppose que a=20052005a=2005^{2005}; on désigne par:
      => B la somme des chiffres de A.
      => C la somme des chiffres de B.
      => D la somme des chiffres de C.
      a) Démontrer la relation suivante: ad(9)a\equiv d(9).
      b) Sachant que 2005<10000, démontrer que A s'écrit en numération décimale avec au plus 8020 chiffres. En déduire que B\leq72180.
      c) Démontrer que C<45.
      d) En étudiant la liste des entiers inférieurs à 45, déterminer un majorant de D plus petit que 15.
      e) Démontrer que D=7.

    Merci d'avance.



  • Bonjour
    demande incongrue
    pouvez vous me donner une correction avec les détails
    ceci est
    contraire aux principesqui régissent ce forum.

    par contre on veut bien suivre avec toi le fil des questions et les pistes que tu peux proposer pour en trouver les réponses.

    énoncé
    1.a) Déterminer suivant les valeurs de l'entier naturel non nul n le reste dans la division euclidienne par 9 de 7^n.
    As-tu une idée pour aborder cette question ?



  • on remplace n par 0,1,2,3,4,5,6,7,8 dans 7n7^n?



  • Par exemple ; ça peut donner une idée en effet. Et ainsi, quels restes trouves-tu ?


 

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