un exercice sur les equations du second degré !!



  • merci d'avance a tout ceux qui seront sympa de m'aider !!!
    ce n'est pas un dm mais j'aimerais comprendre !!

    exo : supposez qu vous soyez chercheur d'or et que le propriètaire d'un terrain aurifère vous vende une parcelle de ce terrain a choisir par vous. cette parcelle doit etre rectangulaire et son perimètre a une valeur fixée, disons 2p. assurément, vous comprendrez que votre interet est de repondre a cette question : "parmi tous les rectangles ayant le même perimètre, y en a t-il un dont l'aire est la plus grande possible, et quelles sont les dimensions de ce rectangle ?"

    1°) appelons x une des dimension de ce rectangle. verifiez que l'aire est S(x)=-x²+px
    2°)mettez S(x) sous forme canonique. deduisez en pour quelle valeur de x1, S(x) est maximale. donnez les dimensions du rectangle correspondant.

    MERCI D'AVANCE



  • Salut,

    1. Soit x et y, la longueur et la largeur de ce rectangle.
      On a donc :
      2x + 2y = 2p (périmètre)
      x + y = p (équation 1)

    Calcul de l'aire :
    S(x) = x * y = x * (p - x) = -x^2 + px
    ...On voit bien que si x est soit la longueur, soit la largeur, la formule pour calculer l'aire du rectangle en fonction de x est la même dans les deux cas.

    1. S(x) = - x^2 + px
      Or (x - (p/2))^2 = x^2 + (p^2 / 4) - px
      donc (x - (p/2))^2 - (p^2 / 4) = x^2 - px
      donc - (x - (p/2))^2 + (p^2 / 4) = - x^2 + px

    et donc
    S(x) = - (x - (p/2))^2 + (p^2 / 4)

    Or pour tout x, (x - (p/2))^2 >= 0
    donc pour tout x, - (x - (p/2))^2 <= 0

    Donc la valeur maximale de S(x) est (p^2 / 4) et celle-ci est atteinte lorsque - (x - (p/2))^2 = 0.

    • (x - (p/2))^2 = 0
      (x - (p/2))^2 = 0
      x - (p/2) = 0
      x = p/2

    Donc S(x) est maximale pour x = p/2.

    x = p/2 étant l'une des dimensions du rectangle (c'est à dire la longueur ou la largeur), on peut calculer la deuxième dimension.

    On rappelle qu'on a :
    DIMENSION1 + DIMENSION2 = p (voir équation 1)
    donc DIMENSION2 = p - DIMENSION1
    donc DIMENSION2 = p - (p/2)
    donc DIMENSION2 = p/2

    Donc lorsque l'aire est maximale, le rectangle est en fait un carré de côté p/2.

    Et voilà.
    J'avoue que j'ai été TRES sympa sur ce coup-ci, mais un petit exemple montrant une façon de bien rédiger un problème ne peut être que bénéfique.
    J'espère aussi que j'ai pas fait d'erreurs. Merci de vérifier...

    @+


Se connecter pour répondre
 

Il semble que votre connexion ait été perdue, veuillez patienter pendant que nous vous re-connectons.