un exercice sur les equations du second degré !!

[tiphsat]

merci d'avance a tout ceux qui seront sympa de m'aider !!!
ce n'est pas un dm mais j'aimerais comprendre !!

exo : supposez qu vous soyez chercheur d'or et que le propriètaire d'un terrain aurifère vous vende une parcelle de ce terrain a choisir par vous. cette parcelle doit etre rectangulaire et son perimètre a une valeur fixée, disons 2p. assurément, vous comprendrez que votre interet est de repondre a cette question : "parmi tous les rectangles ayant le même perimètre, y en a t-il un dont l'aire est la plus grande possible, et quelles sont les dimensions de ce rectangle ?"

1°) appelons x une des dimension de ce rectangle. verifiez que l'aire est S(x)=-x²+px
2°)mettez S(x) sous forme canonique. deduisez en pour quelle valeur de x1, S(x) est maximale. donnez les dimensions du rectangle correspondant.

MERCI D'AVANCE

[madvin]

Salut,

1. Soit x et y, la longueur et la largeur de ce rectangle.
   On a donc :
   2x + 2y = 2p (périmètre)
   x + y = p (équation 1)

Calcul de l'aire :
S(x) = x * y = x * (p - x) = -x^2 + px
...On voit bien que si x est soit la longueur, soit la largeur, la formule pour calculer l'aire du rectangle en fonction de x est la même dans les deux cas.

2. S(x) = - x^2 + px
   Or (x - (p/2))^2 = x^2 + (p^2 / 4) - px
   donc (x - (p/2))^2 - (p^2 / 4) = x^2 - px
   donc - (x - (p/2))^2 + (p^2 / 4) = - x^2 + px

et donc
S(x) = - (x - (p/2))^2 + (p^2 / 4)

Or pour tout x, (x - (p/2))^2 >= 0
donc pour tout x, - (x - (p/2))^2 <= 0

Donc la valeur maximale de S(x) est (p^2 / 4) et celle-ci est atteinte lorsque - (x - (p/2))^2 = 0.

• (x - (p/2))^2 = 0
  (x - (p/2))^2 = 0
  x - (p/2) = 0
  x = p/2

Donc S(x) est maximale pour x = p/2.

x = p/2 étant l'une des dimensions du rectangle (c'est à dire la longueur ou la largeur), on peut calculer la deuxième dimension.

On rappelle qu'on a :
DIMENSION1 + DIMENSION2 = p (voir équation 1)
donc DIMENSION2 = p - DIMENSION1
donc DIMENSION2 = p - (p/2)
donc DIMENSION2 = p/2

Donc lorsque l'aire est maximale, le rectangle est en fait un carré de côté p/2.

Et voilà.
J'avoue que j'ai été TRES sympa sur ce coup-ci, mais un petit exemple montrant une façon de bien rédiger un problème ne peut être que bénéfique.
J'espère aussi que j'ai pas fait d'erreurs. Merci de vérifier...

@+