Exercice logarithme

Bonjour a tous !

Alors voila, j'ai un exercice a faire pour lundi, qui me bloque un peu.. le voici

Soit f la fonction définie sur [0; + l'infini[ par :
f(x) = -(lnx)²+lnx+2

1/ Résoudre l'équation f(x) =0 => J'ai trouvé e(-1) et e(2) ?
b/Donner une interprétation graphique des solutions =>?
2/ étudier les limites de f en 0 et en + l'infini ? => la je trouve des formes indéterminée, donc je suppose que je me trompe...
3/ calculer f'(x) , dressez le tableau complet des variations de la fonction F => je sais que la dérivée de 2 c'est 0, la dérivée de lnx c'est 1/x, mais qu'elle est la dérivée de -(lnx)² ?

Merci d'avance !

salut

b/ interprétation graphique... intersection avec l'un des axes ?

2/ en 0 la limite n'est pas indéterminée du tout : regarde bien celle de chaque terme.

en +∞, je te suggère de factoriser par le terme dominant ln(x)²

3/ de façon générale, la dérivée de u², où u est une fonction de x est égale à 2uu', généralisant ainsi la dérivée de x² qui est 2x (avec x' = 1).

@+

Au secours, je ne comprends rien a ce que tu m'expliques :$

Je suis vraiment pas douée en maths...

Bonjour auriane44,

f(x) = 0, soit y = 0
Si x = $e^{-1}$ et y = 0, le point $e^{-1}$ ;0) appartient à l'axe des .......

Abscisses?

Oui
et pour l'autre point ?

Donc l'interprétation graphique : les solutions de l'équation f(x) = 0, correspondent aux ......

Pour l'autre point, c'est la même chose...
Les solutions de l'équation f(x) =0, correspondent aux points d'intersections avec l'axe des abscisses?

Pour la limite en 0, je trouve - l'infini... est ce cela?

L'ensemble est correct.

-∞ : oui, pour la limite en 0.

Et pour la limite en +∞ bah ça fait..
Lim -ln(x) = -∞ et lim ln(x) = +∞

Donc , par somme, lim f(x) = ?

C'est ici que je bloque... est ce que le - devant le ln(x) inverse le signe de ∞ ?

ce faisant, tu montres seulement qu'à première vue c'est une forme indéterminée

je t'ai conseillé de factoriser (en forçant) par ln(x)²

Certes, mais je ne vois pas du tout ce que ça donne... On peut pas factoriser par ln(x)², étant donné qu'il n'y en a qu'un...

on peut forcer son apparition en terminale quand même

et ce au moyen de la propriété $\times \frac ab$

c'est une technique usuelle qu'il te faut acquérir - essaie voir :

-(lnx)²+lnx+2 = (ln(x)² [ -1 + ... + ... ]

évidemment on trouvera des quotients dans les pointillés !

honnêtement, je n'ai jamais utilisé cet méthode dans ce genre d'exercice, d'ou mon questionnement

Bien sur, je sais factoriser, du moins, j'ai su ,mais comme cette méthode et moi on est pas très copine, j'essaye au maximum de l'éviter
Le problème, c'est que je vois pas ou ça va m'amener

Je dirais ( avec une groooosse hésitation)
(ln(x)²[ -1+1+2]

Mais encore une fois, je ne vois pas a quoi cela va servir...

Ok toi tu ne l'as jamais utilisée mais jamais un prof ne donnerait ce genre d'exo sans avoir vu la méthode au moins une fois (et je suis chiche dans cette estimation), notamment en 1re.

Passons.

La facto que tu fais est fausse ; prenons par exemple un cas purement numérique : -4 + 2 + 1.

Je dis qu'on peut factoriser cette somme par 4.

En effet, c'est $4\times \left(-1 + \frac12 + \frac34\right)$

Réfléchis à cela et tâche d'appliquer le même genre de principe à l'expression du même type -(lnx)²+lnx+2.

Où ça va t-il te conduire ? Hé bien à avoir des croissances comparées ; mais ne te pose
pasce genre de "fausse question"
avantd'avoir mené un minimum de calcul. Sans te manquer de respect, tu en sais visiblement trop peu pour anticiper pour le moment ; par contre, une fois arrivée au bout de ce petit exo, là j'espère que tu en retireras un certain nombre de méthodes !

Je ne comprends pas..
J'abandonne, tant pis
Merci quand même !

Tu as tort : $ln⁡(x)=ln⁡(x)2ln⁡(x)\ln(x) = \frac{\ln(x)^2}{\ln(x)}$ etc. je peux faire apparaître un facteur commun en tant que numérateur d'une fraction !

C'est la clé de la levée de l'indétermination.

Maintenant c'est toi qui vois si tu veux apprendre ou en rester là.

Je veux apprendre, or, si je ne comprends pas la méthode, ça ne me ménera à rien.

encore une fois, je décèle une fausse excuse facile dans cette affirmation lapidaire (contestable d'ailleurs)... toujours sauf ton respect.

je ne lâche pas le morceau :

et en l'écrivant -X² + X + 2 comment déterminerais-tu la limite lorsque X tend vers +∞ ?

car ici aussi c'est une forme indéterminée n'est-ce pas ?

Euh, en l'écrivant ainsi, on a vu en cours qu'il fallait prendre le terme de plus haut degré d'un polynome pour trouver sa limite
Soit
-X²
Donc j'aurais dit que ce polynome tend vers -∞

Oui.

Normalement, un tel théorème est accompagné d'une preuve (ou : démonstration) laquelle se fait en factorisant par le terme de plus haut degré.

Je te montre comment :

$−X2+X+2=X2×(−1+1X+2X2)-X^2 + X + 2 = X^2 \times \left(-1 + \frac1X + \frac2{X^2}\right)$

Car en effet, $X2×1X=XX^2 \times \frac1X = X$ et $X2×2X2=2X^2 \times \frac2{X^2} = 2$ par simplification. Réfléchis à ces "astuces techniques".

Or dans la parenthèse, tu n'as que des limites faciles à trouver ; et par produit tu vois que la limite de -X^2 + X + 2 est effectivement la même que celle de $X2×(−1)X^2\times(-1)$ , attention au coefficient.

De façon accélérée, on peut donc dire dans ce cas que la limite de -X^2 + X + 2 est bien celle de -X² son terme de plus haut degré.

On peut essayer de procéder ainsi ici, avec -(lnx)²+lnx+2.

Très bien, donc en +∞, limite en -∞

Ensuite, dérivée...
f'(x) = 1/X +... ?

dixit moi-même
3/ de façon générale, la dérivée de u², où u est une fonction de x est égale à 2uu', généralisant ainsi la dérivée de x² qui est 2x (avec x' = 1).

ln(x) se dérive en 1/x et ln(x)² comme u², donc 2 u u'

Donc, pour ln(x)² ça donne 2x1 ?
Soit 2x?

pas du tout !

je dis que ln(x)² est u², carré d'une fonction u, avec

u = ln(x)

dont la dérivée est

u' = 1/x

Or par théorème je sais que la dérivée de u² est 2uu' (le double du produit de la fonction par sa dérivée)

donc celle de ln(x)² est ...

2ln(x)(1/x)

soit 2ln(x)/ x ?

voilà c'est ça !

Très bien, merci beaucoup !

Je devrais réussir a m'en sortir a présent

Merci encore

Edit : Oups, dernière question
Pour les limites, ça pose un problème dans le tableau de variation
Car je trouve que la dérivée est croissante, or, elle ne peut pas aller de -∞ a -∞

Et même chose si elle était décroissante...

la dérivée n'est pas concernée par la croissance

tu as étudié le signe de f'(x) ? fais attention à l'annulation de ln(x).
normalement f'(x) est d'abord positive puis à partir d'une certaine valeur (à déterminer) pour x elle devient négative.

Ah oui, si j'ai bien fais mon calcul, 2lnx+1 s'annule en e (-1/2) c'est ça ?

n'y aurait-il pas un signe moins devant 2ln(x)/x dans l'expression de la dérivée ?

Et bien, j'avais proposé 2lnx/x et vous avez acquiescé donc j'ai fais le calcul sans..

c'est pour ln(x)² seulement, ça

faut toujours travailler par petit bout ^^

donc pour -ln(x)² + ln(x) + 2, déjà la dérivée est ...

donc elle s'annule en ...

f'(x) = (-2ln(x)/x )+(1/x)

Et s'annule en e(1/2)

ok !

Merci !