Etudier les extremums d'une fonction en utilisant la dérivation

[rockymiss]

]Bonjour,ça fait plusieurs jours que je suis dessus je n'y suis toujours pas arrivée :

On dispose d'une feuille de carton rectangulaire de 80 cm de long
sur 50 cm de large avec laquelle on veut fabriquer une boîte ayant la forme
d'un parallélépipède rectangle.
On donne le patron de la boîte, à découper dans la feuille :[img=http://www.mathforu.com/transfertfichier/fichiers/1048-fichier-math.jpg]fichier math[/img

Déterminer les dimensions de la boîte pour que son volume soit maximal.
Quelqu'un pourrez m'aider?Merci

[tethys]

Bon,
tu dois retirer des carrés aux 4 coin de ta feuille rectangulaire si j'ai bien vu m'image.

Le volume doit être maximal...donc il faudrait essayer de trouver une expression algébrique du volume.

Quelle est la formule du volume d'un parallelépipède?

[rockymiss]

Le volume d'un parallélépipède rectangle se calcule par la formule suivante :V=L×l×h.

[tethys]

Maintenant, il faut que tu exprimes la longueur, la largeur et la hauteur de ton parallélipipède... Evidemment en fonction de la partie que tu retires

Par exemple : la longueur = longueur de ta feuille - la partie que tu retires à gauche - partie que tu retires à droite
Ce qui donne L= 80 - 2x

Tu fais de même pour la largeur et la hauteur
Tu auras alors V(x) = (80-2x) . Largeur . hauteur

Allons jusque là...
Essaie de trouver largeur et hauteur

[rockymiss]

Bonjour donc la formule de V=(80-2x)(50-2x)x
v=(8050+80(-2x)-2x50-2x(-2x))x
v=(400-160x-100x+4x²)x
v=(400-260x+4x²)x
v=400x-260x²+4x³
ou on peut laisser sans developper je pense que c'est plus facile
Df=R
V est dérivable sur R comme produit de fonctions linéaires
v(x)=(80-2x) u(x)=(50-2x) w(x)=x
v'(x)=-2 u'(x)=-2 w'(x)=1
f'(x)=u'vw+w'vu+v'uw=
-2x(80-2x)+1(50-2x)(80-2x)-2(80-x)x
=-160x+4x²+400-100x-160x+4x²-160x+4x²=12x²-420x+240
on utilise ensuite delta pour trouver les racines comme delta=176400-412*240=176400-11520=164880>0 dc deux racines

apres avoir trouvé les deux racines on fait un tableau de signe

est ca?ou il faut developper comme j'ai fait au début pour pouvoir faire la suite?Merci

[rockymiss]

Bonjour je viens de me rendre que la formule que j'ai employé pour f'(x) n'est pas bonne.Pourriez vous me donner la formule car je ne vois pas qu'est ce que ca pourrait etre.Merci

[Iron]

bonjour rockymiss,

3 remarques :

1. Il me semble que tu as fait une erreur de calcul pour V(x)

V(x) = (80-2x)*(50-2x)*x = 4x³ - 260 x² + 400
0x

Vérifie quand même (j'ai pu moi aussi me tromper)

2. Avant même de calculer V(x), il faut réfléchir sur les valeurs que x peut prendre !
   Tu notes "Df=R" ... hum comment fais-tu pour couper des coins de 60 cm de coté dans ta feuille ?
   Tu auras besoin de l'intervalle de définition de V(x) pour la suite

3. Pour la dérivée, tu te compliques la vie.

en utilisant la forme V(x) = 4x³ - 260 x² + 4000 x

voire V(x) = 4 (x³ - 65 x² + 1000 x)

la dérivée est très simple ... avec (u+v)' = u' + v' et (a.$x^n$)' = na.$x^{n-1}$ et éventuellement (ku)' = k.u' si tu utilises la forme avec 4 en facteur

Sinon la méthode est bonne.

[Iron]

Citation
f'(x) = 12x²-
420x+
240

Recalcule la dérivée.