Etudier le sens de variation d'une suite

Bonjour,
J'ai un petit problème pour étudier le sens de variation d'une suite :

$U_0$ = 0
$U_{n+1}$ = √ $3U_n$ +4)

Sachant qu'à la question précédente je venais de démontrer que la suite $U_n$ ) était majorée par 4
Je sais que je peux trouver le sens de variation par un raisonnement par récurrence
Mais je voulais utiliser la formule générale
$U_{n+1}$ - $U_n$

Voici ce que j'ai commencé à faire :

$U_{n+1}$ - $U_n$
= √ $3U_n$ + 4) - $U_n$
Or $U_n$ ≤ 4
Et la je suis bloqué parce que $U_n$ intervient deux fois dans la formule

Si quelqu'un pouvait m'aider,
merci d'avance

Bonjour,
Inutile de calculer $U_{n+1}$ - $U_n$

Si $U_n$ ≤ 4 , alors $3U_n$ + 4 ≤ 16, donc √ $3U_n$ + 4) ≤ 4

Mais je ne vois pas la relation avec ce résultat et la question qui consiste à rechercher les variations de $U_n$ )

Est-ce que vous voulez que par addition de $U_n$ ≤ 4 et de $U_{n+1}$ ≤ 4 , alors
$U_{n+1}$ - $U_n$ ≤ 0
et la suite $U_n$ ) est décroissante ?
merci d'avance

Bonjour,
Est-ce que quelqu'un pourrait m'indiquer comment procéder ?

Merci d'avance pour votre aide

Ce sont les variations que tu cherches ?
Tu sais déjà que $U_n$ ≤ 4 ?
Dans ce cas, tu peux comparer $U_n$ ² avec $U_{n+1}$ ² car $U_n$ est positif.

Comment sait-on que $U_n$ est positif ?

$U_0$ = 0 ( positif au sens large )
$U_1$ = √ $3U_0$ +4) = 2
Les $U_n$ sont des racines carrées, donc positifs.

Comment comparer $U_n$ et $U_{n+1}$ ?
Je veux dire a partir de quelle inéquation ?

Calcule $_{Un+1}$ ² - $U_n$ ²

$U_{n+1}$ - $U_n$
= $U_{n+1}$ ² - $U_n$ ² car $U_n$ ≥ 0
= √ $3U_n$ + 4)² - $U_n$ ²
= $U_n$ ² + $3U_n$ + 4

Et maintenant comment démontrer que cela est supérieure a 0 (pour démontrer que la suite est croissante) ?

merci d'avance

Citation
U_{n+1}$ - $U_n$
= $U_{n+1}$ ² - $U_n$ ² car $U_n$ ≥ 0
Non : a-b n'est pas égal à a² - b², même si a et b sont positifs.
Tu calcules seulement $U_{n+1}$ ² - $U_n$ ² et tu trouves $U_n$ ² + $3U_n$ + 4
Ensuite, tu dois étudier le signe de ce résultat : factorise-le.

En factorisant par $U_n$ , cela me donne
$U_n$ $U_n$ +3) + 4

$U_n$ $U_n$ +3) + 4 = 0
$U_n$ $U_n$ +3) = -4

Mais là je suis bloquée pour étudier le signe

Ce n'est pas une factorisation, puisqu'il reste une somme ( +4 ).
Tu dois factoriser en un produit de deux facteurs.
Tu dois savoir factoriser -x²+ 3x + 4 ?
-x² + 3x + 4 = (... )(... )

Je n'y arrive pas, c'est la première fois que j'ai à faire à une telle factorisation
s'il y aurait eu un 9 à la place du 4 j'aurais réussi, mais là je ne vois vraiment pas comment

Tu as appris cela en seconde ( forme canonique ) et en première ( racines d'une équation du second degré ).
Je te conseille de chercher les racines de -x² + 3x + 4 = 0 :
méthode du discriminant, mais aussi le cas des racines évidentes.

J'ai fais la méthode du discrimant :
je trouve delta = √25
x1 = 4 et x2 = -1 (est-ce la même chose que de dire $U_1$ = 4 et $U_2$ = -1)
En faisant le tableau de variation je trouve que sur l'intervalle [0,4[, f(x) est positif (est-ce la même chose de dire $U_{n+1}$ positif)

Comment conclure correctement sur le sens de variation ?

Citation
est-ce la même chose que de dire U1 = 4 et U2 = -1Non, bien sûr. On a calculé U1 = 2, et U2 = √10.
Les deux racines te permettent de factoriser :
$U_{n+1}$ ² - $U_n$ ² = $U_n$ ² + $3U_n$ + 4 = (4 $- U$ _n $U_n$ + 1)
Et l'étude des variations te donne le signe de ce produit dans [0 ; 4] ( pourquoi exclus-tu 4 ? ).
Citation
est-ce la même chose de dire Un+1 positifNon plus, mais tu sais que Un est positif, et tu sais aussi que Un ≤ 4.
Donc Un se trouve dans l'intervalle [0 ; 4].
Conclusion ?

Pour étudier le signe du produit,
je fais la produit du produit de facteur nul,
cela me donne
Un = 4 ou Un = -1
Donc j'en déduis que sur [0;4], $U_{n+1}$ ² - $U_n$ ² est positif
De plus 0 ≤ $U_n$ ≤ 4
Est-ce ce que cela suffit à affirmer que la suite $U_n$ est croissante ?

L'ordre est confus :
Citation
0 ≤ $U_n$ ≤ 4Cela permet de dire que l'on se trouve dans l'intervalle où $U_{n+1}$ ² - $U_n$ ² est positif ( ou nul ).
Citation
Donc j'en déduis que sur [0;4], $U_{n+1}$ ² - $U_n$ ² est positifCitation
Est-ce ce que cela suffit à affirmer que la suite $U_n$ est croissante ?Pas tout à fait:
$U_{n+1}$ ² - $U_n$ ² ≥ 0
Donc $U_{n+1}$ ² ≥ $U_n$ ²
Et puisque $U_n$ et $U_{n+1}$ sont positifs : $U_{n+1}$ ≥ $U_n$ : maintenant on peut dire que la suite est croissante.

Est-ce correcte si je rédige ma réponse comme ceci :

$U_{n+1}$ = √ $3U_n$ + 4) donc $U_n$ ≥ 0
$U_{n+1}$ ² $U_n$ ²
= √ $3U_n$ +4)² $U_n$ ²
$U_n$ ² + $3U_n$ + 4
Et après avoi réecrit le calcul du discrimant
= $4-U_n$ ) $U_n$ +1)

De plus comme 0 ≤ $U_n$ ≤ 4
$U_{n+1}$ ² - $U_n$ est bien positif sur [0,4]
Un+1² - Un² ≥ 0

Donc Un+1² ≥ Un²
Et puisque Un et Un+1 sont positifs : Un+1 ≥ Un : maintenant on peut dire que la suite est croissante.

Merci d'avance

Ca me paraît correct, mais tu as bien auparavant démontré que $U_n$ ≤ 4 ?

Oui je l'avais fais dans une question précédente avec un raisonnement par récurrence

Merci infiniment pour votre aide

De rien.
A+

Une dernière question,
Je peux démontrer mathématiquement que $U_n$ ≥ 0 par un raisonnement par récurrence,
trouvez-vous que cela est mieux pour affirmer que $U_n$ ≥ 0

merci d'avance

La récurrence me semble ici inutile :
U0 = 0 ≥ 0
Et pour n ≥ 0 ( donc à partir de $U_1$ ), $U_{n+1}$ = √... : une racine carrée est toujours positive ou nulle.
Ce que l'on peut préciser, si on effectue une récurrence, c'est que en supposant Un ≥ 0, on peut toujours calculer $U_{n+1}$ , et qu'ensuite sa "positivité" va de soi puisque c'est une racine carrée.