Etudier le sens de variation d'une suite


  • L

    Bonjour,
    J'ai un petit problème pour étudier le sens de variation d'une suite :

    U0U_0U0 = 0
    Un+1U_{n+1}Un+1 = √(3Un(3U_n(3Un+4)

    Sachant qu'à la question précédente je venais de démontrer que la suite (Un(U_n(Un) était majorée par 4
    Je sais que je peux trouver le sens de variation par un raisonnement par récurrence
    Mais je voulais utiliser la formule générale
    Un+1U_{n+1}Un+1 - UnU_nUn

    Voici ce que j'ai commencé à faire :

    Un+1U_{n+1}Un+1 - UnU_nUn
    = √(3Un(3U_n(3Un + 4) - UnU_nUn
    Or UnU_nUn ≤ 4
    Et la je suis bloqué parce que UnU_nUn intervient deux fois dans la formule

    Si quelqu'un pouvait m'aider,
    merci d'avance


  • M

    Bonjour,
    Inutile de calculer Un+1U_{n+1}Un+1 - UnU_nUn

    Si UnU_nUn ≤ 4 , alors 3Un3U_n3Un + 4 ≤ 16, donc √(3Un(3U_n(3Un + 4) ≤ 4


  • L

    Mais je ne vois pas la relation avec ce résultat et la question qui consiste à rechercher les variations de (Un(U_n(Un)

    Est-ce que vous voulez que par addition de UnU_nUn ≤ 4 et de Un+1U_{n+1}Un+1 ≤ 4 , alors
    Un+1U_{n+1}Un+1 - UnU_nUn ≤ 0
    et la suite (Un(U_n(Un) est décroissante ?
    merci d'avance


  • L

    Bonjour,
    Est-ce que quelqu'un pourrait m'indiquer comment procéder ?

    Merci d'avance pour votre aide


  • M

    Ce sont les variations que tu cherches ?
    Tu sais déjà que UnU_nUn ≤ 4 ?
    Dans ce cas, tu peux comparer UnU_nUn² avec Un+1U_{n+1}Un+1² car UnU_nUn est positif.


  • L

    Comment sait-on que UnU_nUn est positif ?


  • M

    U0U_0U0 = 0 ( positif au sens large )
    U1U_1U1 = √(3U0(3U_0(3U0+4) = 2
    Les UnU_nUn sont des racines carrées, donc positifs.


  • L

    Comment comparer UnU_nUn et Un+1U_{n+1}Un+1 ?
    Je veux dire a partir de quelle inéquation ?


  • M

    Calcule Un+1_{Un+1}Un+1² - UnU_nUn²


  • L

    Un+1U_{n+1}Un+1 - UnU_nUn
    = Un+1U_{n+1}Un+1 ² - UnU_nUn ² car UnU_nUn ≥ 0
    = √(3Un(3U_n(3Un + 4)² - UnU_nUn²
    = −Un-U_nUn² + 3Un3U_n3Un + 4

    Et maintenant comment démontrer que cela est supérieure a 0 (pour démontrer que la suite est croissante) ?

    merci d'avance


  • M

    Citation
    U_{n+1}$ - UnU_nUn
    = Un+1U_{n+1}Un+1 ² - UnU_nUn ² car UnU_nUn ≥ 0
    Non : a-b n'est pas égal à a² - b², même si a et b sont positifs.
    Tu calcules seulement Un+1U_{n+1}Un+1² - UnU_nUn² et tu trouves −Un-U_nUn² + 3Un3U_n3Un + 4
    Ensuite, tu dois étudier le signe de ce résultat : factorise-le.


  • L

    En factorisant par UnU_nUn, cela me donne
    UnU_nUn (−Un(-U_n(Un +3) + 4

    UnU_nUn (−Un(-U_n(Un +3) + 4 = 0
    UnU_nUn (−Un(-U_n(Un +3) = -4

    Mais là je suis bloquée pour étudier le signe


  • M

    Ce n'est pas une factorisation, puisqu'il reste une somme ( +4 ).
    Tu dois factoriser en un produit de deux facteurs.
    Tu dois savoir factoriser -x²+ 3x + 4 ?
    -x² + 3x + 4 = (... )(... )


  • L

    Je n'y arrive pas, c'est la première fois que j'ai à faire à une telle factorisation
    s'il y aurait eu un 9 à la place du 4 j'aurais réussi, mais là je ne vois vraiment pas comment


  • M

    Tu as appris cela en seconde ( forme canonique ) et en première ( racines d'une équation du second degré ).
    Je te conseille de chercher les racines de -x² + 3x + 4 = 0 :
    méthode du discriminant, mais aussi le cas des racines évidentes.


  • L

    J'ai fais la méthode du discrimant :
    je trouve delta = √25
    x1 = 4 et x2 = -1 (est-ce la même chose que de dire U1U_1U1 = 4 et U2U_2U2 = -1)
    En faisant le tableau de variation je trouve que sur l'intervalle [0,4[, f(x) est positif (est-ce la même chose de dire Un+1U_{n+1}Un+1 positif)

    Comment conclure correctement sur le sens de variation ?


  • M

    Citation
    est-ce la même chose que de dire U1 = 4 et U2 = -1Non, bien sûr. On a calculé U1 = 2, et U2 = √10.
    Les deux racines te permettent de factoriser :
    Un+1U_{n+1}Un+1² - UnU_nUn² = −Un-U_nUn² + 3Un3U_n3Un + 4 = (4 −U-UU_n)(Un)(U_n)(Un + 1)
    Et l'étude des variations te donne le signe de ce produit dans [0 ; 4] ( pourquoi exclus-tu 4 ? ).
    Citation
    est-ce la même chose de dire Un+1 positifNon plus, mais tu sais que Un est positif, et tu sais aussi que Un ≤ 4.
    Donc Un se trouve dans l'intervalle [0 ; 4].
    Conclusion ?


  • L

    Pour étudier le signe du produit,
    je fais la produit du produit de facteur nul,
    cela me donne
    Un = 4 ou Un = -1
    Donc j'en déduis que sur [0;4], Un+1U_{n+1}Un+1² - UnU_nUn² est positif
    De plus 0 ≤ UnU_nUn ≤ 4
    Est-ce ce que cela suffit à affirmer que la suite UnU_nUn est croissante ?


  • M

    L'ordre est confus :
    Citation
    0 ≤ UnU_nUn ≤ 4Cela permet de dire que l'on se trouve dans l'intervalle où Un+1U_{n+1}Un+1² - UnU_nUn² est positif ( ou nul ).
    Citation
    Donc j'en déduis que sur [0;4], Un+1U_{n+1}Un+1² - UnU_nUn² est positifCitation
    Est-ce ce que cela suffit à affirmer que la suite UnU_nUn est croissante ?Pas tout à fait:
    Un+1U_{n+1}Un+1² - UnU_nUn² ≥ 0
    Donc Un+1U_{n+1}Un+1² ≥ UnU_nUn²
    Et puisque UnU_nUn et Un+1U_{n+1}Un+1 sont positifs : Un+1U_{n+1}Un+1UnU_nUn : maintenant on peut dire que la suite est croissante.


  • L

    Est-ce correcte si je rédige ma réponse comme ceci :

    Un+1U_{n+1}Un+1 = √(3Un(3U_n(3Un + 4) donc UnU_nUn ≥ 0
    Un+1U_{n+1}Un+1² −Un-U_nUn²
    = √(3Un(3U_n(3Un+4)² −Un-U_nUn²
    =−Un=-U_n=Un² + 3Un3U_n3Un + 4
    Et après avoi réecrit le calcul du discrimant
    = (4−Un(4-U_n(4Un) (Un(U_n(Un+1)

    De plus comme 0 ≤ UnU_nUn ≤ 4
    Un+1U_{n+1}Un+1² - UnU_nUn est bien positif sur [0,4]
    Un+1² - Un² ≥ 0

    Donc Un+1² ≥ Un²
    Et puisque Un et Un+1 sont positifs : Un+1 ≥ Un : maintenant on peut dire que la suite est croissante.

    Merci d'avance


  • M

    Ca me paraît correct, mais tu as bien auparavant démontré que UnU_nUn ≤ 4 ?


  • L

    Oui je l'avais fais dans une question précédente avec un raisonnement par récurrence

    Merci infiniment pour votre aide


  • M

    De rien.
    A+


  • L

    Une dernière question,
    Je peux démontrer mathématiquement que UnU_nUn ≥ 0 par un raisonnement par récurrence,
    trouvez-vous que cela est mieux pour affirmer que UnU_nUn ≥ 0

    merci d'avance


  • M

    La récurrence me semble ici inutile :
    U0 = 0 ≥ 0
    Et pour n ≥ 0 ( donc à partir de U1U_1U1 ), Un+1U_{n+1}Un+1 = √... : une racine carrée est toujours positive ou nulle.
    Ce que l'on peut préciser, si on effectue une récurrence, c'est que en supposant Un ≥ 0, on peut toujours calculer Un+1U_{n+1}Un+1, et qu'ensuite sa "positivité" va de soi puisque c'est une racine carrée.


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