Exercice 3 Devoir 1 (Notion de limite)

Bonjours, j'ai un sousi avec mon exercice, je n'arrive pas a dépasser la premiere question, svp aidez moi!

Sujet:

Soit E la fonction définie sur R par E(x) = n si n ≤ x < n + 1 (n ∈ ) (E(x) est alors le plus grand entier inférieure ou égal à x). Cette fonction est la fonction partie entière.

Calculer E(1), E(2,35), E(-3,48).
Montrer que pour tout réel x: x - 1 < E(x) ≤ x
Déterminer alors lim E(x) quand x → + ∞
lim E(x) quand x → - ∞
lim E(x)/x2 quand x → +∞
On considère la fonction f définie sur par : f(x)= x - E(x). La fonction f admet-elle une limite en +∞ ? (on pourra considérer les suites $u_n$ ) et $v_n$ ) définies par : un = n et vn = n + (1/2)).

Reponce:

E(x) = n si n ≤ x < n + 1 (n ∈ Z )

E(1) = 1 1 ≤ 1 < 2
E(2,35) = 2 2 ≤ 2,35 < 3
E(-3,48) = -4 -4 ≤; -3,48 < -3

Merci d'avance pour vos reponce!

Question 2

Le fait que E(x) soit plus petit que x découle de sa définition, il n'y a rien à écrire de plus.

Maintenant la définition dit aussi que x < E(x)+1

Donc on en déduit x-1 < E(x).

Voilà !

Merci infiniment, g enfin compris la question 2!
Mais pour la 3. je ne sais pas comment fair la lim E(x) quand x→+∞ ou
lim E(x) quand x→-∞
Je sais comment il faut fair mais je ne sais pas quelle resutlat sa va donner!
le calcul est: E(+∞) = +∞
Je na sais vraiment pas comment fair, merci d'avance!

lorsque x devient infiniment grand, il en va de même de x-1 ; donc du fait que x - 1 < E(x), ...

c'est le même genre d'idée en -∞n en se servant de E(x) ≤ x.

Ok, merci je croi que j'ai compris, sa fait donc:

lim E(x) quand x→+∞
x - 1 < E(x)
lim x - 1 quand x→+∞ = +∞
donc lim E(x) quand x→+∞ = +∞

et c la même chose pour lim E(x) quand x→-∞
on utilise E(x) ≤ x
sa fai lim E(x) quand x→-∞ = -∞

Ensuite pour lim E(x)/x2 quand x → +∞
sa fait une forme indeterminer +∞/+∞
Donc comment je fait pour celle la?

Merci

il faut se servir de l'encadrement

tu as x-1 < E(x) ≤ x donc tu peux tout diviser par x² (tout étant positif vers +∞, cela ne changera pas le sens)

le nouvel encadrement donnera la limite par le théorème dit "des gendarmes"

J'ai trop bien compris, merci infiniment!
Alor j'ai trouver:
lim E(x)/x2 quand x → +∞
x-1 < E(x) ≤ x ⇔ (x - $1)/x^2$ < E(x) $x^2$ ≤ $x/x^2$

Apre je calcul les lim des extremité qui est = 0 les 2 donc d'apre le théoreme d'encadrement lim E(x)/x2 quand x → +∞ = 0

Mais pouriez vous m'aider pour la 4e question svp!
Merci

Dsl j'ai mal écrie les indices je me sui tromper! Dsl