Exercice 3 Devoir 1 (Notion de limite)



  • Bonjours, j'ai un sousi avec mon exercice, je n'arrive pas a dépasser la premiere question, svp aidez moi!

    Sujet:

    Soit E la fonction définie sur R par E(x) = n si n ≤ x < n + 1 (n ∈ ) (E(x) est alors le plus grand entier inférieure ou égal à x). Cette fonction est la fonction partie entière.

    1. Calculer E(1), E(2,35), E(-3,48).
    2. Montrer que pour tout réel x: x - 1 < E(x) ≤ x
    3. Déterminer alors lim E(x) quand x → + ∞
      lim E(x) quand x → - ∞
      lim E(x)/x2 quand x → +∞
    4. On considère la fonction f définie sur par : f(x)= x - E(x). La fonction f admet-elle une limite en +∞ ? (on pourra considérer les suites (un(u_n) et (vn(v_n) définies par : un = n et vn = n + (1/2)).

    Reponce:

    E(x) = n si n ≤ x < n + 1 (n ∈ Z )

    1. E(1) = 1 1 ≤ 1 < 2
      E(2,35) = 2 2 ≤ 2,35 < 3
      E(-3,48) = -4 -4 ≤; -3,48 < -3

    Merci d'avance pour vos reponce!



  • Question 2

    Le fait que E(x) soit plus petit que x découle de sa définition, il n'y a rien à écrire de plus.

    Maintenant la définition dit aussi que x < E(x)+1

    Donc on en déduit x-1 < E(x).

    Voilà !



  • Merci infiniment, g enfin compris la question 2! 😄
    Mais pour la 3. je ne sais pas comment fair la lim E(x) quand x→+∞ ou
    lim E(x) quand x→-∞
    Je sais comment il faut fair mais je ne sais pas quelle resutlat sa va donner!
    le calcul est: E(+∞) = +∞
    Je na sais vraiment pas comment fair, merci d'avance! 😄



  • lorsque x devient infiniment grand, il en va de même de x-1 ; donc du fait que x - 1 < E(x), ...

    c'est le même genre d'idée en -∞n en se servant de E(x) ≤ x.



  • Ok, merci je croi que j'ai compris, sa fait donc:

    lim E(x) quand x→+∞
    x - 1 < E(x)
    lim x - 1 quand x→+∞ = +∞
    donc lim E(x) quand x→+∞ = +∞

    et c la même chose pour lim E(x) quand x→-∞
    on utilise E(x) ≤ x
    sa fai lim E(x) quand x→-∞ = -∞

    Ensuite pour lim E(x)/x2 quand x → +∞
    sa fait une forme indeterminer +∞/+∞
    Donc comment je fait pour celle la?

    Merci



  • il faut se servir de l'encadrement

    tu as x-1 < E(x) ≤ x donc tu peux tout diviser par x² (tout étant positif vers +∞, cela ne changera pas le sens)

    le nouvel encadrement donnera la limite par le théorème dit "des gendarmes"



  • J'ai trop bien compris, merci infiniment! 😄
    Alor j'ai trouver:
    lim E(x)/x2 quand x → +∞
    x-1 < E(x) ≤ x ⇔ (x - 1)/x21)/x^2 < E(x) /x2/x^2x/x2x/x^2

    Apre je calcul les lim des extremité qui est = 0 les 2 donc d'apre le théoreme d'encadrement lim E(x)/x2 quand x → +∞ = 0

    Mais pouriez vous m'aider pour la 4e question svp!
    Merci



  • Dsl j'ai mal écrie les indices je me sui tromper! Dsl 😲


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