Résolution d'un problème avec nombres complexes

[Maxoo]

Bonjour a tous, voici un exercice qui me cause pas mal de problèmes ...
Pouvez vous m'aidez?

Dans un plan complexe P rapporté à un repère orthonormal direct (o,u,v), on donne les points A d'affixe 2i, B d'affixe 2 et I milieu de [AB] (unité graphique:2cm). On considère la fonction f qui, à tout point M distinct de A, d'affixe z, associe le point M' d'affixe z' telle que:
z'=2z/z-2i

1.a Montrer que f admet comme points invariants le point O et un deuxième point dont on precisera l'affixe.

1.b Determiner les images par f des points B et I.

2. Doit M un point quelconque distinct de A et de O.Etablir que:
   (vecteur u; vecteur OM')= (Vecteur MA; vecteur MO) +k2π, K appartenant à Z
   (vecteur OM')= 2(MO/MA)

3.Soit Δ la médiatrice de [OA]. Montrer ques les transformés par f des points de Δ appartiennent à un cercle C que l'on precisera.

4. Soit I' le cercle de diamètre [OA], privé du point A. Montrer que les transformés par f des points de Γ appartiennent à une droite D que l'on precisera.

5. tracer Δ,Γ, C, D sur la même figure.

Je n'arrive pas à faire mon exercice... j'ai du mal sur ce chapitre là alors s'il vous plait pourriez-vous m'aider a le comprendre et à la faire. Merci

Voici ce que j'ai déjà fais :

1)a) z'=z
2z/(z-2i) = z
2z = z (z-2i)
2z = z² - 2iz
2z -z²+2iz =0
z ( 2-z+2i) =0
z'=z equivaut à z (2-z+2i) =0
Soit z=0 ou z=2+2i
Il y a donc deux points invariants : le point d'affixe 0 et le point d'affixe 2+2i

Est-ce bon?

Pouvez vous m'aidez pour la suite car je ne comprends pas la deuxième question la 1)b). Faut il que je remplace les affixe des points B et I dans z' ?

[mtschoon]

Bonjour,

1)a) OK pour ta réponse

1)b) Ton idée est bonne.

Soit $\text{z'=f(z)=\frac{2z}{z-2i}$

$\text{z_b=2$

Tu calcules f(2)

$\text{f(2)=\frac{4}{2-2i}=\frac{2}{1-i}=\frac{2(1+i)}{(1-i)(1+i)}$

Tu dois trouver 1+i

$\text{z_i=\frac{z_a+z_b}{2}=\frac{2+2i}{2}=1+i$

Tu calcules f(1+i)

Essaie de poursuivre.