Montrer qu'une transformation est une rotation dans le plan complexe



  • Bonjour, je bloque sur une question de mon dm.
    Voici l'énoncé

    Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal (o,u,v).
    On considère la transfromation f du plan qui, à tout point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' telle que:
    z'= [(racine de 2) /2] (-1+i)z

    1. Montrer que la transformation f est une rotation dont on déterminera le centre et l'angle.
    2. On définit la suite de points (Mn) de la façon suivante : Mo est point d'affixe zo=1 et pour tout nombre entier naturel n, Mn+1= f(Mn). On note zn l'affixe du point Mn.
      a) justifier que pour tout nombre entier n, zn = ei(3npie/4)
      b) Montrer que pour tout entier naturel n, les points Mn et Mn+8 sont confondus

    Voila merci de votre aide



  • Bonsoir,

    Quelque pistes pour démarrer ,

    $\text{z'=f(z)=az , avec a=\frac{\sqrt{2}}{2}(-1+i)$

    Mets a sous forme exponentielle

    Commence par (-1+i)

    Après calculs du module et d'un argument , tu dois trouver :

    $-1+i=\sqrt 2e^{\frac{3i\pi}{4}$

    Donc :

    $a=\frac{\sqrt{2}}{2}(\sqrt 2 e^{\frac{3i\pi}{4})$

    $a=e^{\frac{3i\pi}{4}$

    f est donc le rotation de centre O ( point invariant) et d'angle 3π4\frac{3\pi}{4}

    Essaie de poursuivre.



  • Je bloque à la question 2b



  • Le 2b) est la conséquence du 2a)

    Tu sais que pour tout n de N :

    $\text{z_n=e^{\frac{3ni\pi}{4}$

    Donc :

    $\text{z_{n+8}=e^{\frac{3(n+8)i\pi}{4}$

    En décomposant :

    $\text{z_{n+8}=e^{\frac{3ni\pi}{4}}\times\ e^{\frac{8i\pi}{4}$

    $\text{z_{n+8}=e^{\frac{3ni\pi}{4}}\times\ e^{2i\pi}$

    Il te reste à remplacer e2iπe^{2i\pi} par sa valeur et conclure que :

    $\text{z_{n+8}=z_n$

    d'où la conclusion demandée.



  • Merci de ton aide.
    Je bloque aussi sur une question :
    Prouver que les triangles M0M1M2 et M7M0M1 ont la même aire. Préciser la valeur exacte de cette aire.



  • Si tu ne l'as pas déjà fait , je te conseille de placer les points M0 , MI , M2, ..., M7 dans le plan complexe ( repère orthonormé )
    Choisis l'unité de longueur grande pour y voir clair.
    Trace le cercle de centre 0 et de rayon 1 ( vu que les points sont sur ce cercle )

    Tu pars de M0 ( de coordonnées (0,1)
    Par rotation de centre O et d'angle 3pipi/4 , tu obtiens M1 , et tu continues ainsi jusqu'à M7 .

    Lorque tu auras construit les 2 triangles , tu dois pouvoir répondre à la question.



  • J'ai pas compris pour la 3


 

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