Déterminer image d'une droite par homothétie

bonjour à tous.
Je suis tombé sur cet exercice de 2éme année secondaire et j'avoue ne pas avoir la réponse.
Merci à ceux qui se donneront la peine de répondre.
*on donne un triangle ABC et on désigne par O le centre de cercle circonscrit C, par G son centre de gravité et par H son orthocentre.
A',B',C' son les milieux respectifs de [B C], [AC], [AB]
1)quelle est l'image de la droite (AH) par l'homothétie h ?
(G,-1/2)
2)montrer que les points O,G et H sont alignés et que OH=3OG
3)montrer que le centre de cercle C' appartient à la droite (O G).
calculer le rayon de ce cercle en fonction de celui de cercle C.

merci d'avance.

Bonjour,

Pour le 1)
G, centre de gravité, est situé au 2/3 de chaque médiane. On a GA = - 2 GA'
Donc l'image de A par l'homothétie h est A'.
L'homothétique de AH est une droite parallèle à AH, donc perpendiculaire, elle aussi, à BC.
l'homotétique de AH est la droite passant par A' et perpendiculaire à BC, soit la médiatrice de BC, soit OA'.

Pour le 2)
Par l'homothétie h :

AH se transforme en OA'
BH se transforme en OB'
CH se transforme en OC'
Le point d'intersection H des 3 droites AH, BH et CH se transforme en point d'intersection des 3 droites A'O, B'O et C'O. Ce point, c'est O.

O est donc l'image de H par l'homothétie de centre G et de rapport -1/2.

Donc O, G et H sont nécessairement alignés et GH = - 2 GO. Comme GH = GO + OH, on en déduit OH = -3 GO = 3 OG.

D'où sort le cercle C' ? Il doit manquer une information.

Iznogoud