Calculer la dérivée d'une fonction, préciser le signe et en déduire le sens de variation



  • bonjour ,je vous demande de l'aide car je n'arrive pas a resoudre un exercice.
    Il s'agit d'un polynome élevée au cube, en représentation ca passe bien par l'origine mais je n'arrive pas a résoudre la fonction g(x)=0

    voici l'énoncé :
    soit g(x)=(1+x)³+x

    question 1) calculer la dérivée, préciser le signe et en deduire le sens de variation de g.

    g'(x)=3x²+6x+4
    signe positif car on se réfère au premier membre 3x² qui est strictement positif
    g est donc croissante.

    CE QUI MAINTENANT ME POSE PROBLEME
    question2) démontrer que g(x)=0

    si je calcule le discriminant de ma dérivée je trouve -12 donc pas de solution à g(x)=0
    sauf que le représentation graphique sur calculatrice prouve l'inverse...

    merci de me donner les pistes nécessaires pour résoudre cet exercice niveau terminale ES tombée pour un concours de douanes que je passe lundi.



  • Bonjour,

    Ta formule de g'(x) est correcte.

    Il est plus simple d' écrire g'(x) = 3 (1+x)^2 + 1 qui est bien toujours positive (somme d'un carré - toujours positif - et de 1).

    Par contre, il est faux de se référer au premier membe pour en déduire quelque chose dans le cadre de la formule développée de g' que tu utilises.

    Si par exemple, on prend une fonction h(x) = 3x^2+10x+4, h(x) est négative pour x=-1, pourtant le signe du premier membre est bien positif ...

    Je suppose qu'en question 2, tu cherches x tel que g(x) = 0.
    Il est normal que le discriminant ed la dérivée soit négatif et qu'il n'y ait pas de solution g'(x) = 0 puisque c'est ce qu'on a vu avant.
    Ici on cherche x pour que g(x) = 0 et non g'(x) = 0
    On sait cet x existe puisque g est croissante, que g(-1) = -1 et que g(0) = 1.

    Iznogoud



  • merci pour les rectifications
    je vais essayer maintenant de ne plus avoir une valeur aproximative de x pour g(x)=0

    merci beaucoup



  • bon toujours pas de g(x)=0
    donc meme si la politique du site n'est pas de donner une réponse toute machée, pédagogie oblige, je vous supplie de m'aider....lundi je passe le concours des douanes et je sèche sévèrement sur l'annale de l'an dernier:

    donc on a g(x)= (1+x)³+x=0
    1+3x+3x²+x³+x=0
    x³+3x²+4x+1=0
    x(x²+3x+4+(1/x))=0 on sait déjà qu'un produit égale à zéro si l'un des deux facteurs au moins est nul. On sait déjà que x ne peut pas etre egal a zéro car 1/x est impossible pr x=0.
    maintenant il me reste à résoudre x²+3x+4+(1/x)=0

    jai retourné le probleme dans tout les sens je n'y arrive pas.
    Jai essayé de remettre cette ligne sous facteur: rien
    de vouloir trouver des racines:rien
    dériver etc: jai aucune idée pour résoudre ceci et je passe l'examen lundi. J'aimerai y aller avec un peu de confiance, un peu ...
    merci beaucoup



  • Bonjour,

    La question 2 est incomplète.
    Est-ce : Démontrer que g(x) = 0 admet une solution ?



  • oui pardon la question 2 est démontrer que g(x)=0 admet une solution entre [-1;0]

    merci de m'aider parce que je souhaiterai comprendre une règle que je ne maitrise pas visiblement.



  • Calcule g(-1) et g(0) et utilise le fait que la fonction g est croissante.



  • Bonjour,

    La question reformulée me plaît plus.
    Trouver x tel que g(x) = 0 ne donne pas un x simple à trouver, loin de là.
    Suis les indications de Noemi qui sont parfaites.
    Je t'ai déjà donné la réponse ci-dessus.

    Iznogoud



  • il faut démontrer et pas résoudre (?!) c'est ca, donc écrire
    g( -1)<g(x)<g(0)
    (1-1)³-1<(1+x)³+x<(1+0)³+0
    -1<g(x)<1
    donc g(x)=0 admet une unique solution alpha ds l'intervalle [-1;0]

    nb: il faut noter inférieur ou égal

    propriété si a<x<b et f(a)



  • Oui ... un peu rapide.

    De manière plus explicite :

    g étant continue, on peut appliquer le théorème des valeurs intermédiaires : pour tout réel k compris ente g(a) et g(b), il existe au moins un réel c tel que g(c) = k.
    On applique ici avec
    a=-1 et g(a) = -1
    b = 0 et g(0) = 1
    k = 0

    Ensuite, g étant monotone et donc croissante, c est nécessairement unique.

    Iznogoud



  • merci bcp pr les explications


 

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