Inégalité de Cauchy - Schwarz



  • SVP
    Pouvez-vous me donner un coup de pouce et me corriger les questions déja faite merci

    Soit u^\rightarrow et v^\rightarrow 2 vecteurs non nuls.
    On considère la fonction f définie sur R par :
    f(x) = (u^\rightarrow + x v^\rightarrow)² .

    1] Quel est le signe de la fonction f sur R ?
    c'est positif car c'est une fonction carrée.

    2] Quelles conditions sur les vecteurs u^\rightarrow et v^\rightarrow faut-il avoir pour que la fonction f s'annule ?
    moi j'ai mis que x = - u/v

    3] Montrer que la fonction f est un trinôme du second degré.

    4] Si on suppose que les vecteurs u^\rightarrow et v^\rightarrow ne sont pas colinéaires, quel est le signe du discriminant ?

    5] En utilisant l'expression du discriminant , montrer que
    |u^\rightarrow.v^\rightarrow| <= llu^\rightarrowll llv^\rightarrowll
    et montrer que l'inégalité ne se produit que si les vecteurs u^\rightarrow et v^\rightarrow sont colinéaires.


  • Modérateurs

    Salut.

    Pour la 2), j'aurais plutôt marqué u^\rightarrow =-x*v^\rightarrow .

    1. Ca se développe comme une identité remarquable, mais sans oublier les flèches pour les vecteurs... des fois que tu aies envies de passer à la norme trop rapidement, et d'oublier un petit cosinus dans un certain produit scalaire.

    2. Etabli le trinôme déjà. On verra ensuite.

    @+



  • Pour 1).
    C'est un carré scalaire :
    (u^\rightarrow + x v^\rightarrow).(u^\rightarrow + x v^\rightarrow)
    et c'est en effet positif, car c'est par def ||(u^\rightarrow + x v^\rightarrow)||².

    Pour 2).
    La division par ... un vecteur. Hum !
    La fonction f s'annule lorsqu'il existe au moins une valeur de x pour laquelle
    f(x) = 0, c'est-à-dire
    u^\rightarrow + x v^\rightarrow = 0^\rightarrow
    equiv/ u^\rightarrow colinéaire à v^\rightarrow.

    Pour 3).
    f(x) = (u^\rightarrow + x v^\rightarrow).(u^\rightarrow + x v^\rightarrow)
    = ||u^\rightarrow||² + x² ||v^\rightarrow||² + 2x u^\rightarrow.v^\rightarrow
    et le produit scalaire peut s'écrire en terme de cosinus.


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