Inégalité de Cauchy - Schwarz

[Cédrine]

SVP
Pouvez-vous me donner un coup de pouce et me corriger les questions déja faite merci

Soit u${}^{\to }$ et v${}^{\to }$ 2 vecteurs non nuls.
On considère la fonction f définie sur R par :
f(x) = (u${}^{\to }$ + x v${}^{\to }$)² .

1] Quel est le signe de la fonction f sur R ?
c'est positif car c'est une fonction carrée.

2] Quelles conditions sur les vecteurs u${}^{\to }$ et v${}^{\to }$ faut-il avoir pour que la fonction f s'annule ?
moi j'ai mis que x = - u/v

3] Montrer que la fonction f est un trinôme du second degré.

4] Si on suppose que les vecteurs u${}^{\to }$ et v${}^{\to }$ ne sont pas colinéaires, quel est le signe du discriminant ?

5] En utilisant l'expression du discriminant , montrer que
|u${}^{\to }$.v${}^{\to }$| <= llu${}^{\to }$ll llv${}^{\to }$ll
et montrer que l'inégalité ne se produit que si les vecteurs u${}^{\to }$ et v${}^{\to }$ sont colinéaires.

[Jeet-chris]

Salut.

Pour la 2), j'aurais plutôt marqué u${}^{\to }$ =-x*v${}^{\to }$ .

3. Ca se développe comme une identité remarquable, mais sans oublier les flèches pour les vecteurs... des fois que tu aies envies de passer à la norme trop rapidement, et d'oublier un petit cosinus dans un certain produit scalaire.

4. Etabli le trinôme déjà. On verra ensuite.

@+

[Zauctore]

Pour 1).
C'est un carré scalaire :
(u${}^{\to }$ + x v${}^{\to }$).(u${}^{\to }$ + x v${}^{\to }$)
et c'est en effet positif, car c'est par def ||(u${}^{\to }$ + x v${}^{\to }$)||².

Pour 2).
La division par ... un vecteur. Hum !
La fonction f s'annule lorsqu'il existe au moins une valeur de x pour laquelle
f(x) = 0, c'est-à-dire
u${}^{\to }$ + x v${}^{\to }$ = 0${}^{\to }$
equiv/ u${}^{\to }$ colinéaire à v${}^{\to }$.

Pour 3).
f(x) = (u${}^{\to }$ + x v${}^{\to }$).(u${}^{\to }$ + x v${}^{\to }$)
= ||u${}^{\to }$||² + x² ||v${}^{\to }$||² + 2x u${}^{\to }$.v${}^{\to }$
et le produit scalaire peut s'écrire en terme de cosinus.