Démontrer par récurrence

[samantha]

1. Démontrer par récurrence que ∀ n ∈ N* : ∑ q² = n(n+1)(2n+1) /6
2. ∀ n ∈ N : 6 (exposant n) +4 est divisible par 5
   Aidez moi s'il vous plait , c'est urgent

[mtschoon]

Bonjour,

Piste pour la première récurrence,

Je suppose que tu veux démonter que , pour tout n de N* :

$\fbox{\bigsum_{q=1}^{q=n}q^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}$

Initialisation pour n=1 : $\bigsum_{q=1}^{q=1}q^2=\frac{1(1+1)(2+1)}{6}$

Tu vérifies que cette égalité est bien exacte.

Transmission ( on dit aussi hérédité)

Tu supposes la propriéte vraie à un ordre n ( $n\ge 1$) , c'est à dire que , pour une valeur de n :

$\bigsum_{q=1}^{q=n}q^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Tu va démontrer ( en utilisant la propriété à l'ordre n ) que la propriété est vraie à l'ordre (n+1) , c'est à dire que :

$\bigsum_{q=1}^{q=n+1}q^2=\frac{(n+1)(n+2)(2(n+1)+1)}{6}$

DEMONSTRATION :

$\bigsum_{q=1}^{q=n+1}q^2=\bigsum_{q=1}^{q=n}q^2 + (n+1)^2$

Donc :

$\bigsum_{q=1}^{q=n+1}q^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^2$

Il te reste à transformer le membre de droite pour trouver la valeur escomptée.

Je te laisse poursuivre.