Coefficient dominant d'un polynôme
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Eemtec dernière édition par
Bonjour à tous,
Je dois montrer par récurrence que le coefficient dominant An d'un polynôme Pn est 2^(2n-1) * ( n-1 ) !, mais je reste bloqué sur l'hérédité.
On sait que Pn+1 = (X^2-1)^2 * Pn' - 2X (2n(X^2-1) + 1 )*Pn et que le degré de Pn est (3n-2). On sait aussi que A1 vaut 2.
Je vérifie bien que A1 vaut 2 dans l'initialisation mais pour l'hérédité, je ne vois pas vraiment commet faire.
Quelques idées pour me débloquer ?Merci d'avance.
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Bonsoir,
Il faut que tu utilises l'expression de récurrence de Pn+1P_{n+1}Pn+1 pour calculer son terme dominant. Tu concentres tes calculs sur les termes de plus haut degré.
Pour commencer :
pn=22n−1(n−1)!x3n−2+...... pn′=22n−1(n−1)!(3n−2)x3n−3+......p_{n}=2^{2n-1}(n-1)!x^{3n-2}+......\ p_{n}'=2^{2n-1}(n-1)!(3n-2)x^{3n-3}+......pn=22n−1(n−1)!x3n−2+...... pn′=22n−1(n−1)!(3n−2)x3n−3+......
(ce que je mets dans les points de suspension c'est le reste du polynôme dont le calcul ne nous intéresse pas).Ensuite, en remplaçant les plus hauts degrés de PnP_nPn et PnP_nPn' dans l'expression de récurrence :
pn+1=x4pn′−4nx3pn+...... pn+1=x422n−1(n−1)!(3n−2)x3n−3−4nx322n−1(n−1)!x3n−2+......p_{n+1}=x^{4}p_n'-4nx^{3}p_n+......\ \ p_{n+1}=x^{4}2^{2n-1}(n-1)!(3n-2)x^{3n-3}-4nx^{3}2^{2n-1}(n-1)!x^{3n-2}+......pn+1=x4pn′−4nx3pn+...... pn+1=x422n−1(n−1)!(3n−2)x3n−3−4nx322n−1(n−1)!x3n−2+......J'espère que tu comprend la méthode que je te propose. Toutefois je ne suis parvenu à obtenir le coefficient An+1A_{n+1}An+1... Vérifie ton énoncé stp.
