Résolution d'équations différentielles avec fonction exponentielle



  • Voici 2 équations différentielles avec lesquelles j'ai du mal :

    y'+3y = 3x² + 4e(x) y0= Ce^-3x

    Faut-il chercher Yp de la forme (ax^3 + bx² + cx + d) + 4e^x ?

    En faisant cela je trouve x^3 - x² + (2/3)x - 2/9 + 12e^x
    pourtant la solution est x^3 - x² + (2/3)x - 2/9 + e^x

    Voici la deuxième y'-y= 4xe^x + 4xe^2x y0= Ce^x

    Comment poser Yp ?

    Merci d'avance pour votre aide



  • Bonjour,

    Pour la première équation , je te suggère de chercher une solution particulière ( que tu appelles Yp je pense ) , de la forme :
    $\text{ax^2+bx+c+de^x$

    Evidemment , il n'est pas toujours aisé de savoir de quel type doit-être cette recherche.

    Pour la seconde , je te conseille ( si tu connais ) d'utiliser la méthode dite de "variation de la constante ".

    Piste :

    Tu sais que $\text{y_0=ce^x$

    Tu cherches une solution particulière Yp de la forme $\text{y=k(x)e^x$

    ( La constante C est remplacée par une fonction "variable" d'où le nom imagé de "variation de la constante ".)

    $\text{y=k(x)e^x donc , apres calcul , y'=k'(x)e^x+k(x)e^x$

    Tu remplaces y et y' par ces expressions dans l'équation à résoudre.

    Tu en déduis l'expression de K'(x).

    En prenant une primitive , tu trouves K(x) , d'où Yp.

    Sauf erreur , tu devrais trouver ainsi :

    $\text{y_p=(2x^2+4(x-1)e^x)e^x$

    Au final , la solution générale de l'équation proposée peut s'écrire :

    $\text\fbox{y=ce^x+2x^2e^x+4(x-1)e^{2x}}$



  • je pense que tu t'es trompé pour la première, c'est de la forme Ax^3 + Bx² + Cx + De^x

    Sinon pour la deuxième j'en arrive à K'(x)= 4x + 4xe^x
    J'ai du mal pour la primitive de 4xe^x. ya pas une autre forme :s ?
    car il faut intégrer par partie sinon.



  • Non , il n'y a pas d'erreur pour la première ( si ton énoncé est bien le bon ! )

    Regarde.

    Je te fais le calcul.

    $\text{y=ax^2+bx+c+de^x$

    $\text{y'=2ax+b+de^x$

    En remplaçant dans l'équation :

    $\text{2ax+b+de^x+3ax^2+3bx+3c+3de^x=3x^2+4e^x$

    En regroupant :

    $\text{3ax^2+(2a+3b)x+(b+3c)+4de^x=3x^2+4e^x$

    $\left{3a=3\2a+3b=0\b+3c=0\4d=4\right$

    Après calculs , tu dois trouver ainsi :

    $\text{y_p=x^2-\frac{2}{3}x+\frac{2}{9}+e^x$

    Pour la seconde :

    OK pour K'(x).

    OUI , il faut intégrer par parties pour trouver K(x)



  • je m'étais trompé dans le sujet du premier quel con x était à la puissance 3.

    Sinon pour le deuxième si je n'est pas l'intuition de faire les opération en laissant K(x) et K'(x) écrit sans mettre a quoi celà correspond je suis foutu car je ne visionne pas que celà reviens à trouver la primitive de k'(x)



  • en plus je m'étais trompé k'(x) = 4+ 4e^x + 4x e^x edit: j'ai rien dit

    j'en arrive à k(x) = 4xe^x - 4e^x

    (4xe^x - 4e^x) e^x = (4x+ 4xe^x) e^x j'arrive pas à en venir à des x² etc comme toi..



  • Comme tu l'as indiqué dans une précedente réponse ( *ta dernière n'est pas bonne - recompte *- ) :

    $\text{k'(x)= 4x + 4xe^x$

    Une primitive de 4x est 2x² ( formule usuelle)

    Une primitive de 4xex4xe^x est 4(x1)ex4(x-1)e^x ( par intégration par parties )

    Donc $\text{k(x)=2x^2+4x(x-1)e^x$


 

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