Etudier les variations d'une fonction rationnelle

Bonjour!
Voilà j'ai un exercice à faire mais le problème est que j'ai une question je sais pas du tout comment faire.

On considère la fonction f définie sur ]-3;+∞[ par f(x)= $x2−3x+1x−3\frac{x^2-3x+1}{x-3}$

Etudier les variation de f.
Démontrer que pour tout x de Df, f(x)>x

Alors voilà la question 1 ne me pose pas de problème. On calcul d'abord la dérivé qui est f'(x)= $x2−6x+8(x−3)2\frac{x^2-6x+8}{(x-3)^2}$

Et après on fais un tableau de signe.

Mais je ne sais pas du tout comment répondre à la 2. Je ne sais même pas par quoi commencer, y a-t-il quelqu'un qui peut m'aider.
Merci

Bonsoir,

Une remarque : tu as peut-être fait une faute de frappe.
Ne serait-ce pas plutôt " f définie sur$\text{] +3 , +\infty [$ " ?

Piste pour la 2)

Exprime f(x)-x en réduisant au même dénominateur et en simplifiant le numérateur.

Ensuite , prouve que pour x>3 , f(x)-x > 0

Euh non, je n'ai pas fais d'erreur mais maintenant peut-être que l'énoncé contient une faute.

Il y a certainement une erreur ...

Si le dénominateur de f(x) est (x-3) , la fonction devrait être définie sur ]+3, +∞[

Si le dénominateur de f(x) est (x+3) , la fonction devrait être définie sur ]-3, +∞[

A toi de voir...

Oui, je pense qu'il y a une erreur dans l'éénoncé. Je pense que la fonction est définie sur ]+3;+∞[ malgré l'énoncé. Sachant que j'ai encore un peu de temps pour faire cette exercice je demanderai à mon prof s'il n'y a pas une erreur dans son énoncé.

$\frac{x^2-3x+1}{x-3}-x=\frac{x^2-3x+1}{x-3}-\frac{x(x-3)}{x-3}$
$x2−3x+1−(x2−3x)x−3=x2−3x+1−x2+3xx−3=1x−3\frac{x^2-3x+1-(x^2-3x)}{x-3}=\frac{x^2-3x+1-x^2+3x}{x-3}=\frac{1}{x-3}$

Donc f(x)-x=1/(x-3)
V interdite: x-3=0 <=> x=3
Ainsi pour tout x>3, f(x)-x>0
Donc pour tout x, f(x)>x

Est-ce donc comme ça?

Oui , mais détaille un peu :

$\text{x>3$ donx $x-3>0$ ; vu que $1>0$ , necessairement $\text{\frac{1}{x-3}>0$

Conclusion :

Pour x > 3 , f(x)-x > 0 donc f(x) > x

*Remarque non demandée *:

Pour x < 3 , avec le même raisonnement , tu peux justifier que f(x) < x

Tu peux faire le constat sur ta calculette graphique , en faisant tracer la courbe d'équation y=f(x) et la droite d'équation y=x
Pour x>3 , la courbe est au-dessus de la droite
Pour x<3 , la courbe est en-dessous de la droite.

Ah merci pour votre aide. J'ai une dernière question je dois dire si f est majoré ou minoré. Je pense qu'elle est minoré mais je ne sais pas comment le démontré.

Utilise les résultats précedents .

Avec le tableau de variation , tu peux affirmer que la fontion f est minorée par f(4) que tu as dû calculer , (et par tous les réels inférieurs à f(4) )

Pour dire si f est majorée ou non majorée , utilise la propriété démontrée : f(x) > x
(Je te laisse réfléchir...)