Les MystèRes de R



  • Salut,

    Allez à mon tour de poser une petite énigme.

    Je vous propose un petit problème concernant les nombres rééls.

    L'énoncé est très simple :

    Soit 4 nombres rééls (appartenant donc à l'ensemble R) :

    a = 0,99
    b = 0,9999999999
    c = 0,99... (une infinité de 9 donc)
    d = 1

    Le but du problème consiste à comparer 2 à 2 chacun de ses 4 rééls et d'en donner une démonstration.

    C'est-à-dire de remplacer tous les ? ci-dessous par le signe <, > ou = :

    a ? b
    a ? c
    a ? d
    b ? c
    b ? d
    c ? d

    N'oubliez surtout pas les démonstrations de vos propositions... moi je ne crois que ce qui est préalablement démontré.

    Et voilou !!

    Allez à vous de jouer...



  • Eh bien personne ne trouve...Voilà !



  • Je dirais plutôt que ça n'intéresse personne... :frowning2:

    Je vais attendre encore quelques jours avant de donner la réponse.


  • Modérateurs

    Salut.

    Je reprends tes nombres:

    a = 0,99
    b = 0,9999999999
    c = 0,99... (une infinité de 9 donc)
    d = 1

    Je crois que comparer a, b et c ou bien a, b et d est trivial.

    Le problème se situe entre c et d. Vu que je connais la réponse et la démonstration, je me tais. Je laisse les autres répondre.

    Mon post ne sert qu'à concentrer les recherches des mathforeurs sur le point épineux.

    @+



  • Bonjour, je dirai que c=d :
    Soit c=0.999(infinité)
    10c=9.999(infinité)
    dc 10c-c=9.999...-0.999=9
    d'où 9c=9
    et enfin c=d=1
    cqfd
    Est-ce juste 😛 ?
    Ps: pour le reste rien de compliqué.
    A+



  • Bravo, c'est bien ça. Ta démonstration est correcte.



  • Voici la solution détaillée :

    Soient :
    a = 0,99
    b = 0,9999999999
    c = 0,99... (une infinité de 9 donc)
    d = 1

    Prop.1) a < b

    Démo. :
    b - a = 0,9999999999 - 0,99 = 0,0099999999 > 0
    donc b - a > 0
    et b > a
    CQFD

    Prop.2) b < c

    Démo. :
    c - b = 0,99... - 0,9999999999 = 0,000000000099... > 0
    donc c - b > 0
    et c > b
    CQFD

    Corollaire 1) a < b < c

    Prop.3) b < d

    Démo. :
    d - b = 1 - 0,9999999999 = 0,0000000001 > 0
    donc d - b > 0
    et d > b
    CQFD

    Corollaire 2) a < b < d

    Prop.4) c = d

    Démo. 1:
    c = 0,99...
    10c = 9,99...
    10
    c = 9 + 0,99...
    10c = 9 + c
    9
    c = 9
    c=1
    c=d
    CQFD

    Démo. 2: (pour ceux qui ne seraient pas encore convaincus...)
    (c+d)/2 = (0,99... + 1) / 2
    = 1,99... / 2
    = 0,99..
    = c
    donc
    (c+d)/2 = c
    c+d = 2*c
    d=c
    CQFD

    Et voilou...

    @+

    PS : J'ai voulu souligner les "Démo. :" mais ça buggue encore :frowning2: Tant pis...

    PS 2 : Arfff !!! C'est le gras qui buggue maintenant pour les derniers "Prop.".. GRRR !!! 😡


  • Modérateurs

    0,999...=1 : elle est excellente !
    De la même manière j'ai démontré que 1,999...=2.
    Avec un raisonnement par récurrence : N,9999...=N+1
    Ou encore : 0,39999...=0,4

    C'est logique finalement, mais tellement inattendu : c'est vrai que je n'avais au départ prêté aucune attention à cette énigme.

    PS : oui d'accord madvin c'est vrai il y a des bugs, mais faut pas s'ennerver pour çà ...



  • Désolé de m'être énervé, mais au départ ca avait bien marché c'est pour ça !! Alors je comprend rien et ça m'énerve... :razz:
    Bon de toute façon c'est pas très grave...

    En ce qui concerne l'énigme, oui il y a une infinité de cas comme celui-ci... Tout réél contenant une suite infinie de 9 est égal à un autre réél ayant une partie décimale finie.

    Cela vient du fait que l'on ne peut pas trouver de réél e tel que 0,99... < e < 1. Or une des propriétés de l'ensemble R est qu'il existe toujours un réél compris entre 2 autres rééls. C'est à dire que pour 2 rééls a et b, a < b, on peut toujours trouver un réél c tel que a < c < b. Or, c = (a+b) / 2 est un de ces rééls. Et ma 2ème démo montre bien que cette formule ne donne pas de nouveau réél. Donc forcément a=b dans ce cas là.

    C'est vrai que la première fois qu'on voit ça, ça peut paraître bizarre, mais en tout cas c'est tout à fait correct...
    Et puis apparemment pas mal de personnes la connaissaient déjà. 😉

    @+



  • Voilà, t'as plus qu'à proposer une autre énigme maintenant...Voilà !


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