récurrence conjecture

Bonjour j'ai un exercice sur la conjecture et récurrence mais je n'en ai jamais fait et je galère un peu !
Voici mon énoncé :
On définit la fonction h par h(x)=ln(1+x)
Calculer à la main les dérivées successives d'ordre 1 à 5 de la fonction h .Emettre une conjecture concernant l'expression de la dérivée énième de h.
Démontrer cette conjecture par récurrence.
Alors tout d'abord les dérivées je pense ne pas mettre trompé je trouve:
x1=1/(1+x)
x2=-1/(1+x)²
x3=2/(1+x)^3
x4=-6/(1+x)^4
x5=24/(1+x)^5

h^(0)(x)=(((-1)^-1)(-1)!)/(x+1)=1/(x+1)=h(x)
donc la propriétés est vraie au rang 0
deuxieme etape etude de l'heredité)
je suppose que la propriété est vraie au rang k
c'est a dire que h^(k)(x)=(-1)^(k+1)k!/(x+1)^k (hypothèse de reccurence )
je dois prouver que h^(k+1)(x)=(-1)^((k+1)+1)(k+1)!/(x+1)^(k+1)(but a atteindre)
je sais que h^(k+1)=h^(k)
par hypothèse de réccurence h^(k)(x)=(-1)^(k+1)k!/(x+1)^k
------>donc h^(k+1)(x)=(-1)^(k+2)(k+1)!/(x+1)^(k+1)
donc la propriété est héréditaire !!
Est ce que j'ai bon ?????? Je ne suis pas très sure de moi a partir de la flèche donc si vous pouviez me donner votre avis .Merci d'avance .

Bonjour,

Ton hypothèse de récurrence est déjà fausse, le k! est faux.

L'initialisation aussi. La propriété doit être vérifiée au rang 1 et non pas au rang 0. D'ailleurs (-1)! n'est pas défini.

Emettre une conjecture concernant l'expression de la dérivée énième de h c'est dire : je pense que telle propriété est vraie .
Ici , la propriété qu'on pense être vraie est :
pour tout x appartenant a R \ {-1} on a : h(n)(x) = (-1)^(n+1)n!+1n!/(x + 1)^n "

Démontrer cette conjecture par récurrence c'est
1.Montrer que " pour tout x appartenant a R \ {-1} on a : h '(x) = (-1)²/(x+1) " .

2.1.Montrer que si pour un certaion entier p > 0 on a :
" pour tout x appartenant a R \ {-1} on a : h(p)(x) = (-1)^(p+1)p!/(x + 1)^p " alors on a aussi :
" pour tout x appartenant a R \ {-1} on a : h(p+1)(x) = (-1)^((p+1)+1)(p+1)!/(x + 1)^p+1 "
Voilà est ce que c'est mieux comme ca ?Mais apres avoir poser ça je bloque . Merci d'avance

Ton hypothèse de récurrence est toujours fausse. Je te donne ce que tu dois montrer :

$h(p)(x)=(−1)p−1(p−1)!(x+1)ph^{(p)}(x) = \frac{(-1)^{p-1}(p-1)!}{(x + 1)^p}$

En faite à l'aide de cette hypothèse de recurence je dois :
Donc si j'ai bien compris je pose :
h^(1)(x)=((1))/(x+1)=1/(x+1)=h(x)
donc la propriétés est vraie au rang 1
deuxieme etape etude de l'heredité)
je suppose que la propriété est vraie au rang p
c'est a dire que h^(p)(x)=((-1)^(p-1))(p-1)!/(x+1)^p (hypothèse de reccurence )
je dois prouver que h^(p+1)(x)=(-1)^(p)(p)!/(x+1)^(x+1)^(p+1)(but a atteindre)
je sais que h^(p+1)=h^(k)
par hypothèse de réccurence h^(p)(x)=(-1)^((p-1))*(k-1)!/(x+1)^p
après j'ai un peu de mal si vous pouviez m'aider . Merci d'avance .

Tu dois simplement dériver l'expression que je te donne pour arriver par miracle à la même propriété de rang p+1.

Oui mais dérivée h^(p)(x)=((-1)^(p-1))*(p-1)!/(x+1)^p je n'arrive pas avec les factorielles et j'ai du mal a visualiser !
Si vous pouviez m'aider . Merci .

Oui mais dérivée h^(p)(x)=((-1)^(p-1))*(p-1)!/(x+1)^p je n'arrive pas avec les factorielles et j'ai du mal a visualiser !
Si vous pouviez m'aider . Merci .

Il faut que tu te serves de la propriété : n × (n-1)! = n!

D'accord par contre pour dérivée :(-1)^(p-1) cela fait :(-p)^(-1)=(-p)
-p*(p-1)!=-p!
mais apres pour dérivées le tout j'ai du mal !

$1)^{p-1}$ est une constante multiplicative et se dérive comme telle.

Pour le reste la formule de dérivation est :

$(1up)′=−pu′up+1\left(\frac1{u^p} \right)'=\frac{-pu'}{u^{p+1}}$

Désoler mais là je ne vois vraiment pas nous avons :
H^(p)(x)=(-1)^p-1*(p-1)!/(x+1)^p
je dois dérivée cette fonction mais je bloque :
je n'arrive pas si je dérive (-1)^p-1 seul cela fait (-p)
ensuite -p*(p-1)!=-p!
alors cela me fait -p!/(x+1)^p
mais apres avec la formule( 1/u^p)' je ne comprends pas si vous pouviez m'expliquer parce que là je bloque . merci

Ne cherche pas à à dériver $1)^{p-1}$ car il ne contient pas de x. C'est une constante multiplicative. Idem pour (p-1)!

La 1ère formule à appliquer est
(k.v)'=k.v'
avec k = $1)^{p-1}$ (p-1)!
et v = $1/(x+1)^p$

la seconde pour dériver v est
$(1up)′=−pu′up+1\left(\frac1{u^p} \right)'=\frac{-pu'}{u^{p+1}}$
avec u=x+1

Commence par me dire ce que tu trouves pour u', puis pour v' et enfin pour le tout.

je trouve :
u'=1
donc:-p/(x+1)^p+1
et (k.v)'=k.v'
(-1)p-1(p-1)!*(-p)/(x+1)^p+1

Oui. C'est $h^{(p+1)}$ (x)

Thierry
Oui. C'est $h^{(p+1)}$ (x)

mais commment faire avec le numerateur pour avoir :(-1)^p * p!
car nous avons: -p*(-1)^(p-1)*(p-1)!

$1)^{p-1}$ =(-1)× $(- 1)$ ^{p-1} $1)^p$
et
p(p-1)!=p!

merci beaucoup !!