récurrence conjecture


  • M

    Bonjour j'ai un exercice sur la conjecture et récurrence mais je n'en ai jamais fait et je galère un peu !
    Voici mon énoncé :
    On définit la fonction h par h(x)=ln(1+x)
    Calculer à la main les dérivées successives d'ordre 1 à 5 de la fonction h .Emettre une conjecture concernant l'expression de la dérivée énième de h.
    Démontrer cette conjecture par récurrence.
    Alors tout d'abord les dérivées je pense ne pas mettre trompé je trouve:
    x1=1/(1+x)
    x2=-1/(1+x)²
    x3=2/(1+x)^3
    x4=-6/(1+x)^4
    x5=24/(1+x)^5

    h^(0)(x)=(((-1)^-1)(-1)!)/(x+1)=1/(x+1)=h(x)
    donc la propriétés est vraie au rang 0
    deuxieme etape etude de l'heredité)
    je suppose que la propriété est vraie au rang k
    c'est a dire que h^(k)(x)=(-1)^(k+1)k!/(x+1)^k (hypothèse de reccurence )
    je dois prouver que h^(k+1)(x)=(-1)^((k+1)+1)
    (k+1)!/(x+1)^(k+1)(but a atteindre)
    je sais que h^(k+1)=h^(k)
    par hypothèse de réccurence h^(k)(x)=(-1)^(k+1)k!/(x+1)^k
    ------>donc h^(k+1)(x)=(-1)^(k+2)(k+1)!/(x+1)^(k+1)
    donc la propriété est héréditaire !!
    Est ce que j'ai bon ?????? Je ne suis pas très sure de moi a partir de la flèche donc si vous pouviez me donner votre avis .Merci d'avance .


  • Thierry
    Modérateurs

    Bonjour,

    Ton hypothèse de récurrence est déjà fausse, le k! est faux.

    L'initialisation aussi. La propriété doit être vérifiée au rang 1 et non pas au rang 0. D'ailleurs (-1)! n'est pas défini.


  • M

    Emettre une conjecture concernant l'expression de la dérivée énième de h c'est dire : je pense que telle propriété est vraie .
    Ici , la propriété qu'on pense être vraie est :
    pour tout x appartenant a R \ {-1} on a : h(n)(x) = (-1)^(n+1)n!+1n!/(x + 1)^n "

    Démontrer cette conjecture par récurrence c'est
    1.Montrer que " pour tout x appartenant a R \ {-1} on a : h '(x) = (-1)²/(x+1) " .

    2.1.Montrer que si pour un certaion entier p > 0 on a :
    " pour tout x appartenant a R \ {-1} on a : h(p)(x) = (-1)^(p+1)p!/(x + 1)^p " alors on a aussi :
    " pour tout x appartenant a R \ {-1} on a : h(p+1)(x) = (-1)^((p+1)+1)(p+1)!/(x + 1)^p+1 "
    Voilà est ce que c'est mieux comme ca ?Mais apres avoir poser ça je bloque . Merci d'avance


  • Thierry
    Modérateurs

    Ton hypothèse de récurrence est toujours fausse. Je te donne ce que tu dois montrer :

    h(p)(x)=(−1)p−1(p−1)!(x+1)ph^{(p)}(x) = \frac{(-1)^{p-1}(p-1)!}{(x + 1)^p}h(p)(x)=(x+1)p(1)p1(p1)!


  • M

    En faite à l'aide de cette hypothèse de recurence je dois :
    Donc si j'ai bien compris je pose :
    h^(1)(x)=((1))/(x+1)=1/(x+1)=h(x)
    donc la propriétés est vraie au rang 1
    deuxieme etape etude de l'heredité)
    je suppose que la propriété est vraie au rang p
    c'est a dire que h^(p)(x)=((-1)^(p-1))(p-1)!/(x+1)^p (hypothèse de reccurence )
    je dois prouver que h^(p+1)(x)=(-1)^(p)
    (p)!/(x+1)^(x+1)^(p+1)(but a atteindre)
    je sais que h^(p+1)=h^(k)
    par hypothèse de réccurence h^(p)(x)=(-1)^((p-1))*(k-1)!/(x+1)^p
    après j'ai un peu de mal si vous pouviez m'aider . Merci d'avance .


  • Thierry
    Modérateurs

    Tu dois simplement dériver l'expression que je te donne pour arriver par miracle à la même propriété de rang p+1.


  • M

    Oui mais dérivée h^(p)(x)=((-1)^(p-1))*(p-1)!/(x+1)^p je n'arrive pas avec les factorielles et j'ai du mal a visualiser !
    Si vous pouviez m'aider . Merci .


  • M

    Oui mais dérivée h^(p)(x)=((-1)^(p-1))*(p-1)!/(x+1)^p je n'arrive pas avec les factorielles et j'ai du mal a visualiser !
    Si vous pouviez m'aider . Merci .


  • Thierry
    Modérateurs

    Il faut que tu te serves de la propriété : n × (n-1)! = n!


  • M

    D'accord par contre pour dérivée :(-1)^(p-1) cela fait :(-p)^(-1)=(-p)
    -p*(p-1)!=-p!
    mais apres pour dérivées le tout j'ai du mal !


  • Thierry
    Modérateurs

    (−1)p−1(-1)^{p-1}(1)p1 est une constante multiplicative et se dérive comme telle.

    Pour le reste la formule de dérivation est :

    (1up)′=−pu′up+1\left(\frac1{u^p} \right)'=\frac{-pu'}{u^{p+1}}(up1)=up+1pu


  • M

    Désoler mais là je ne vois vraiment pas nous avons :
    H^(p)(x)=(-1)^p-1*(p-1)!/(x+1)^p
    je dois dérivée cette fonction mais je bloque :
    je n'arrive pas si je dérive (-1)^p-1 seul cela fait (-p)
    ensuite -p*(p-1)!=-p!
    alors cela me fait -p!/(x+1)^p
    mais apres avec la formule( 1/u^p)' je ne comprends pas si vous pouviez m'expliquer parce que là je bloque . merci


  • Thierry
    Modérateurs

    Ne cherche pas à à dériver (−1)p−1(-1)^{p-1}(1)p1 car il ne contient pas de x. C'est une constante multiplicative. Idem pour (p-1)!

    La 1ère formule à appliquer est
    (k.v)'=k.v'
    avec k = (−1)p−1(-1)^{p-1}(1)p1(p-1)!
    et v = 1/(x+1)p1/(x+1)^p1/(x+1)p

    la seconde pour dériver v est
    (1up)′=−pu′up+1\left(\frac1{u^p} \right)'=\frac{-pu'}{u^{p+1}}(up1)=up+1pu
    avec u=x+1

    Commence par me dire ce que tu trouves pour u', puis pour v' et enfin pour le tout.


  • M

    je trouve :
    u'=1
    donc:-p/(x+1)^p+1
    et (k.v)'=k.v'
    (-1)p-1(p-1)!*(-p)/(x+1)^p+1


  • Thierry
    Modérateurs

    Oui. C'est h(p+1)h^{(p+1)}h(p+1)(x)


  • M

    Thierry
    Oui. C'est h(p+1)h^{(p+1)}h(p+1)(x)

    mais commment faire avec le numerateur pour avoir :(-1)^p * p!
    car nous avons: -p*(-1)^(p-1)*(p-1)!


  • Thierry
    Modérateurs

    −(−1)p−1-(-1)^{p-1}(1)p1=(-1)×(−1)(-1)(1)^{p-1}=(−1)p=(-1)^p=(1)p
    et
    p(p-1)!=p!


  • M

    merci beaucoup !!


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