Récurrence...



  • Bonjour à tous ! Voilà, j'ai un problème avec cet exercice.
    Si vous pouviez m'aider svp !

    A) La suite (un(u_n) est définie par u1u_1 = 1 , u2u_2 =3 et pour tout entier naturel n>= 1 ,
    un+2u_{n+2} = 2 un+1u_{n+1} - unu_n

    1°) Calculer u3u_3, u4u_4, u5u_5 et conjecturez l'expression de unu_n en fonction de n.
    2°) Démontrez cette conjecture par récurrence.

    B) La suite (un(u_n) est définie par u0u_0 = 2/5 , u1u_1 = 1 et pour tout entier naturel n,
    un+2u_{n+2} = 5un+15u_{n+1} - 6un6u_n
    Démontrez que pour tout naturel n :
    unu_n = (2n(2^n + 3n3^n)/5

    De mon côté, je n'ai fait que la question 1° : u3u_3 = 5 ; u4u_4 = 7 ; u5u_5 = 9
    unu_n = 2 un+1u_{n+1} - un+2u_{n+2}

    Si vous pouviez m'aider pour la suite ?!
    Merci d'avance !



  • Salut,

    Tu n'as pas totalement répondu à la question 1°) :
    On te demande en effet de conjecturer une expression de unu_n en fonction de n (c'est-à-dire de trouver une expression du style unu_n = f(n), par exemple unu_n = 10n² - 3n + 50, qui donnerait bien les premières valeurs de la suite que tu connais déjà) et pas en fonction d'autres valeurs de la suite comme tu l'as fait. Regarde bien les valeurs de la suite que tu connais déjà, ta conjecture devrait être très facile à trouver.

    Pour la question 2°), tu dois démontrer par récurrence que ta conjecture est vraie. (pour un élève de terminale ça devrait se faire les doigts dans le nez 😉 )

    Ensuite pour l'exercice B, tu fais exactement la même chose que pour le A, sauf qu'ici, on t'as directement donné l'expression de la suite en fonction de n. Pour démontrer sa validité, utiliser à nouveau la récurrence.

    Et voilou.

    @+


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