produit scalaire : somme des carrés des côtés d'un quadrilatère

[niema]

Bonsoir à tous, et d'avance merci à ceux qui m'aideront.

C'est un exercice de géométrie, niveau première S, sur les produits scalaires. Je n'arrive pas à le résoudre; Voici l'énoncé:

Soit un quadrilatère ABCD, les points I milieu de [AC] et J milieu de [BC].

1. Montrer que:
   AB²+BC²+CD²+DA²=4IJ²+BD² (aucun vecteur)
   Piste: Trois fois le théorème de la médiane: triangle BAC, DAC, et IDB.
2. En déduire que:
   "La somme des carrés des côtés d'un quadrilatère est supérieure ou égale à la somme des carrés des diagonales."
   (D'après Euler.) A quelle condition a-t-on l'égalité?

J'ai beau tourner les formules dans tous les sens, quelque chose doit m'échapper pour le 1) ... pour le 2) cela ne doit pas être compliqué après résolution du 1)

Encore merci à ceux qui m'aideront.

edit : merci de donner des titres significatifs

[mtschoon]

Bonjour,

Pour le 1) , je pense qu'il y aune erreur dans ton énoncé...

J devrait-être le milieu de [BD] et non de [BC]

[mtschoon]

J'espère que tu as vérifié ton énoncé.

Piste pour la démonstration de la formule 1) :

Utilise le théorème dit de la "médiane" trois fois.

I étant le milieu de [AC] ( donc (AI) est médiane du triangle ABC ) :

$\text{ba^2+bc^2=2bi^2+\frac{ac^2}{2}$

Avec ce même théorème , tu calcules DA²+DC² et BI²+DI²

Tu as ainsi tous les éléments pour prouver la formule demandée .

[niema]

Bonjour, et meci de votre aide.

L'énoncé est écrit tel quel dans le livre.

grâce au théorème on a:

$b{a}^2+b{c}^2=2b{i}^2+{\frac{ac}{2}}^2$

$d{a}^2+d{c}^2=2d{i}^2+{\frac{ac}{2}}^2$

$b{i}^2+d{i}^2=2i{j}^2+{\frac{bd}{2}}^2$

Ensuite puisque que se sont des longueurs; BA² = AB² ?