Démontrer par recurrence


  • A

    Bonjour à tous,

    J'ai un problème avec un exercice dans mon D.M , je ne comprend pas comment démontrer cela, pouvez-vous m'aider s'il vous plait :

    "Démontrer par recurrence le résultat : Pour tout entier naturel n>0 , 1²+2²+3²+...+(n-1)²+n²= [n(n+1)(2n+1)]/6 "

    J'ai commencé la méthode par recurrence mais je bloque :
    Initialisation
    Si n=1 1²+2²+3²+...+(1-1)²+1² = 1
    [ 1(1+1)(2x1+1)]/6 = (2x3]/6 = 1
    La propriété est vraie
    Hérédité soit k un entier naturel
    Supposons que 1²+2²+3²+...+(k-1)²+k²= [k(k+1)(2k+1)]/6
    et démontrons que 1²+2²+3²+...+ ((k+1)-1)²+(k+1)²= [(k+1((k+1)+1)(2(k+1)+1)]/6
    C'est ici que je suis bloqué

    Merci d'avance


  • M

    Bonjour,
    Applique l'hypothèse : pour simplifier, je note s(k) = 1² + 2² + ... + k²
    et s(k+1) = 1² + 2² + ...+k² + (k+1)²
    On a donc s(k+1) = s(k) + (k+1)².
    C'est ici qu'il faut appliquer l'hypothèse :
    s(k+1) = [k(k+1)(2k+1)]/6 + (k+1)²
    Tu peux mettre (k+1) en facteur : tout se passe ensuite bien.


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