Theoreme de Gronwall

Bonjour tout le monde . je n'arrive pas a faire l'étape de récurrence afin de montrer ce lemme , cela ne doit pas etre tres compliqué .

Soit $v_n)_n$ une suite de rééls positifs alors si

$(n+1)v_n_+1 \le \rho m\rho \sum_{j=1}^n v_j on a : \ \ v_n \le \frac{\rho m_\rho(\rho m_\rho + 1) . . . (\rho m_\rho \ \ \rho m_\rho+(n-1))}{n!}$

ou Rho et M(Rho) sont des constantes positives !

Merci !

Tout le monde est en vacances ou quoi !

UP!

Salut,

C'est pointu comme question ^^ Mathous va peut-être passer ... Je lui envoie un pti message.

Bonjour,
L'énoncé est peu précis et difficile à lire.
En posant ρ $M_ρ$ = a , a-t-on déjà a ≥ 1 ?
Je suppose que les formules doivent être établies à partir de n = 1 ( et pas à partir de n = 0 ) ?
A-t-on $V_1$ ≤ a ?
Enfin, l'énoncé est-il :
Si $n+1)V_{n+1}$ ≤ a ( $V_1$ + $V_2$ + ... + $V_n$ )
alors Vn ≤ a(a+1)...(a+n-1)/n!

Si la réponse est oui à toutes ces questions, alors j'ai peut-être une solution :

On remarque déjà que a(a+1)...(a+n-1)/n! = C(a+n-1,a-1) ( nombre de combinaisons de a-1 parmi a+n-1 : j’utilise cette écriture pour éviter les indices /exposants ).

ATTENTION : c'est un nombre de combinaisons si a est entier.
Mais c'est sans importance, car la propriété utilisée ( triangle de Pascal ) reste vraie avec a quelconque ≥ 1 : je laisse au lecteur le soin de le vérifier.

On peut tenter une démonstration par récurrence

a) le résultat est vrai pour n = 1 : $V_1$ ≤ C(a,a-1) = a ( pour vu que $V_1$ ≤ a comme je l’ai fait remarquer plus haut )
On peut le vérifier directement pour n = 2 :
$V_2$ ≤ $aV_1$ /2 < a²/2 < a(a+1)/2 = C(a+1,a-1)

b) On suppose donc que les résultats sont vrais jusqu’à l’ordre n, et on va le démontrer au rang n+1.
On sait que $n+1)V_{n+1}$ ≤ a ( $V_1$ + $V_2$ + ... + $V_n$ )
En appliquant l’hypothèse de récurrence, on obtient donc :
$n+1)V_{n+1}$ ≤ a( C(a,a-1) + C(a+1,a-1) + … + C(a+n-1,a-1) )
Notant s la somme entre parenthèses, on va calculer puis majorer s :
Pour cela, on utilise la fameuse formule du triangle de Pascal :
C(p+1,k) = C(p,k-1) + C(p,k).
Que l’on applique à chacun des termes de la somme :
C(a+1,a) = C(a,a-1) + C(a,a)
C(a+2,a) =C(a+1,a-1) + C(a+1,a)
C(a+3,a) = C(a+2,a-1) + C(a+2,a)
…
C(a+n,a) = C(a+n-1,a-1) + C(a+n-1,a)

On ajoute membre à membre ces inégalités : les termes se simplifient et il reste :
C(a+n,a) = s + C(a,a) = s +1
D’où s = C(a+n,a) – 1 ≤ C(a+n,a)
Par suite, $n+1)V_{n+1}$ ≤ a C(a+n,a)
Et donc : $V_{n+1}$ ≤ aC(a+n,a)/(n+1) = a(a+n) ! / a ! (n+1) !
= (a+n) ! / (a-1) !(n+1) !
= C(a+n,a-1)
CQFD

Salut ! J ai mis n importe quoi ... En fait c est (n+1)Vn+1 $≤\le$ a (Vo+V1+...+Vn) alors Vn $≤\le$ a(a+1)...(a+n-1)Vo/n! .Ce qui facilite l initialisation ! Oui on peut choisir M(rho) tel que a>1 mais par contre on a pas de relations entre a et Vn et ce quel que soit n .

Merci de ton aide!

Pas grave : il y aura simplement la constante V0 en plus ( si positive ... ).
Le raisonnement doit pouvoir s'adapter avec V0.