Calcul de la somme des termes d'une suite géométrique

[xavier005]

Bonjour, je bloque sur la derniere question de cet exercice, est ce que quelun pourait m' aider svp.

1)a) Soit $(r_n$) la suite geometrique reelle de premier terme $r_0$ strictement positif et de raison 2/3.
Exprimer $r_n$ en fonction de $r_0$ et n.

$r_n$ = $r_0$ $foi/(2/3{)}^n$

b) Soit (On) ,la suite arithmetique reelle de premier terme $O_0$ appartenant a l' intervalle [0;$pi$/2] et de raison 2$pi$/3.
Exprimer $O_n$ en fonction de $O_0$ et de n.

$O_n$ = $O_0$ + 2$pi$/3 foi/n

c)Pour tout entier naturel n, on pose : $z_n$ = $r_n$(cos $O_n$+ $isin{O}_n$).

Sachant que $z_0$ , $z_1$ et $z_2$ sont lies par la relation $z_0$ $z_1$ $z_2$ = 8, determiner le module et un argument de $z_0$ , $z_1$ et $z_2$ .
z0=r0e^iO0
z1=r1e^iO1=rO2/3e^O0+2pi/3
z2=r2e^iO2=rO*(2/3)^2e^O0+4pi/3
donc z0z1z2=(2/3r0)^3e^i(3O0+6pi/3)
z0z1z2=(2/3r0)^3e^iO0
donc :
(2/3r0)^3=8
ro=3
arg(Z0) = 0

r1=r0*(2/3)=3*2/3=2
arg(Z1) = 2Pi/3
et

r2=r0*(2/3)^2=3*4/9=4/3
arg(Z2) = 4Pi/3

2)Dans le plan complexe P muni d' un repere orthonorme direct (O,u,v), (unite graphique 4cm) , on appelle Mn le point d' affixe $z_n$.
a)Placer les points M0,M1,M2et M3 dans le plan P.

c'est bon j' ai reussi a les placer.

b)Pour tout entier naturel n, calculer ||$M_n$ $M$_{n+1}${}^{\to }$ || en fonction de n.

donc la norme du vecteur (Mn Mn+1))= module de ( affixe de Mn -affixe deMn+1)
norme du vecteur (Mn Mn+1)= norme de (Zn+1-Zn)
Zn= r0*(2/3)^n e^i(O0+n2pi/3)
Zn+1= r0*(2/3)^n+1 *e^i(O0+(n+1)*2pi/3)

Zn+1-Zn= r0*(2/3) ^n e^i(O0+n2pi/3)
norme du vecteur (Mn Mn+1)= r0*(2/3)^n*(module de ((2/3)e^(i2pi/3) -1))
norme du vecteur (Mn Mn+1)=3*(2/3)^n*2racine de 3/2

c)On pose $l_n$ = $som(M$k$M</em>k+1$ de k=0 a n
Calculer $l_n$ en fonction de n et determiner sa limite quand n tend vers +4
je vois pas comment simplifier l' expression
j' espere que vous pourez m' aider
merci beaucoup

[Zauctore]

ça m'a pas mal occupé d'essayer de rendre l'énoncé lisible...

en fait ton problème est semblable au calcul d'une somme des termes d'une suite géométrique
som(a $b^k$ de k=0 à n
qui est égale à
a (1 - $b^{n+1}$) / (1 - b),
en sortant les coefficients (facteurs) communs.

De plus, on a |b| < 1 impl/ lim $b^n$ = 0, lorsque n -> inf/.