complexes



  • Bonjour, je bloque sur la derniere question de cet exercice, est ce que quelun pourait m' aider svp.

    1)a) Soit (rn(r_n) la suite geometrique reelle de premier terme r0r_0 strictement positif et de raison 2/3.
    Exprimer rnr_n en fonction de r0r_0 et n.

    rnr_n = r0r_0 foi/(2/3)nfoi/(2/3)^n

    b) Soit (On) ,la suite arithmetique reelle de premier terme O0O_0 appartenant a l' intervalle [0;pipi/2] et de raison 2pipi/3.
    Exprimer OnO_n en fonction de O0O_0 et de n.

    OnO_n = O0O_0 + 2pipi/3 foi/n

    c)Pour tout entier naturel n, on pose : znz_n = rnr_n(cos OnO_n+ isinOnisinO_n).

    Sachant que z0z_0 , z1z_1 et z2z_2 sont lies par la relation z0z_0 z1z_1 z2z_2 = 8, determiner le module et un argument de z0z_0 , z1z_1 et z2z_2 .
    z0=r0e^iO0
    z1=r1
    e^iO1=rO2/3e^O0+2pi/3
    z2=r2e^iO2=rO*(2/3)^2e^O0+4pi/3
    donc z0z1z2=(2/3
    r0)^3e^i(3O0+6pi/3)
    z0z1z2=(2/3
    r0)^3e^iO0
    donc :
    (2/3
    r0)^3=8
    ro=3
    arg(Z0) = 0

    r1=r0*(2/3)=3*2/3=2
    arg(Z1) = 2Pi/3
    et

    r2=r0*(2/3)^2=3*4/9=4/3
    arg(Z2) = 4Pi/3

    2)Dans le plan complexe P muni d' un repere orthonorme direct (O,u,v), (unite graphique 4cm) , on appelle Mn le point d' affixe znz_n.
    a)Placer les points M0,M1,M2et M3 dans le plan P.

    c'est bon j' ai reussi a les placer.

    b)Pour tout entier naturel n, calculer ||MnM_n MM_{n+1}^\rightarrow || en fonction de n.

    donc la norme du vecteur (Mn Mn+1))= module de ( affixe de Mn -affixe deMn+1)
    norme du vecteur (Mn Mn+1)= norme de (Zn+1-Zn)
    Zn= r0*(2/3)^n e^i(O0+n2pi/3)
    Zn+1= r0*(2/3)^n+1 *e^i(O0+(n+1)*2pi/3)

    Zn+1-Zn= r0*(2/3) ^n e^i(O0+n2pi/3)
    norme du vecteur (Mn Mn+1)= r0*(2/3)^n*(module de ((2/3)e^(i2pi/3) -1))
    norme du vecteur (Mn Mn+1)=3*(2/3)^n*2racine de 3/2

    c)On pose lnl_n = som(Msom(MkM</em>k+1M</em>{k+1} de k=0 a n
    Calculer lnl_n en fonction de n et determiner sa limite quand n tend vers +4
    je vois pas comment simplifier l' expression
    j' espere que vous pourez m' aider
    merci beaucoup



  • ça m'a pas mal occupé d'essayer de rendre l'énoncé lisible...

    en fait ton problème est semblable au calcul d'une somme des termes d'une suite géométrique
    som(a bkb^k de k=0 à n
    qui est égale à
    a (1 - bn+1b^{n+1}) / (1 - b),
    en sortant les coefficients (facteurs) communs.

    De plus, on a |b| < 1 impl/ lim bnb^n = 0, lorsque n -> inf/.


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