Etudier les limites d'une fonction

soit la fonction f est définie sur ]0; + infini [ par f(x) = ln (e^x - 1 ) / x)
déterminer lim en 0 + de f(x) on posera f(0) = 0
j'ai mis e^x - 1 se comporte en 0+ comme x
e^x -1 / x se comporte en 0+ comme x/x = 1
donc lim en 0 + de f(x) est 0
est-ce correcte?

déduire f'(0) = lim en 0 f(x) / x interpréter graphiquement
je pensais au taux d'accroissent je trouve 0 mais j'aimerais avoir des conseils sur la méthode je tombe sur une forme indéterminé

étudier branche infinie de f, étudier lim (f(x) - x)
je pense qu'il y a une asymptote oblique mais comment le prouver sans tomber sur une forme indéterminé

préciser les positions relatives de courbe de f et de la droite y= x
je pense qu'il faut montrer que f(x) - x en infini si résultat est inférieur ou supérieur

merci de pouvoir me donner des conseils

Bonjour, difficile de te répondre sans savoir à quel niveau se situe tes études...

Pour ta première question , l'idée est juste mais pour la rédaction , tout dépend de ce que tu sais...

Pour ta seconde question :

Par définition :
$\text{f'(0)=\lim_{x \to 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$

Vu que l'on te donne f(0)=0 , la réponse est immédiate.

Tu trouves que le taux d'accroissement vaut 0 ?

Bizarre...

En prenant les développements limités , au voisinage de 0 :

$\text{f(x) \sim \frac{x}{2}$

$\text{\frac{f(x)}{x} \sim \frac{1}{2}$

1/2 est le coefficient directeur de la demi-tangente à droite , à la courbe , au point d'abscisse 0

L'équation de cette "demi-tangente" est y=(1/2)x

Pour l'étude de la branche infinie , j'aurais commencé par déterminer la limite de f(x) / x en +∞ (qui vaut 1 ) ...