Etudier les limites d'une fonction


  • L

    soit la fonction f est définie sur ]0; + infini [ par f(x) = ln (e^x - 1 ) / x)
    déterminer lim en 0 + de f(x) on posera f(0) = 0
    j'ai mis e^x - 1 se comporte en 0+ comme x
    e^x -1 / x se comporte en 0+ comme x/x = 1
    donc lim en 0 + de f(x) est 0
    est-ce correcte?

    déduire f'(0) = lim en 0 f(x) / x interpréter graphiquement
    je pensais au taux d'accroissent je trouve 0 mais j'aimerais avoir des conseils sur la méthode je tombe sur une forme indéterminé

    étudier branche infinie de f, étudier lim (f(x) - x)
    je pense qu'il y a une asymptote oblique mais comment le prouver sans tomber sur une forme indéterminé

    préciser les positions relatives de courbe de f et de la droite y= x
    je pense qu'il faut montrer que f(x) - x en infini si résultat est inférieur ou supérieur

    merci de pouvoir me donner des conseils


  • mtschoon

    Bonjour, difficile de te répondre sans savoir à quel niveau se situe tes études...

    Pour ta première question , l'idée est juste mais pour la rédaction , tout dépend de ce que tu sais...

    Pour ta seconde question :

    Par définition :
    $\text{f'(0)=\lim_{x \to 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$

    Vu que l'on te donne f(0)=0 , la réponse est immédiate.

    Tu trouves que le taux d'accroissement vaut 0 ?

    Bizarre...

    En prenant les développements limités , au voisinage de 0 :

    $\text{f(x) \sim \frac{x}{2}$

    $\text{\frac{f(x)}{x} \sim \frac{1}{2}$

    1/2 est le coefficient directeur de la demi-tangente à droite , à la courbe , au point d'abscisse 0

    L'équation de cette "demi-tangente" est y=(1/2)x

    Pour l'étude de la branche infinie , j'aurais commencé par déterminer la limite de f(x) / x en +∞ (qui vaut 1 ) ...


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