Variations d'une fonction



  • Bonjour tout le monde!

    Je suis en premiere S et suite à une erreur de raisonnement j'ai eu un problème faux sur mon ds. Malgré l'erreur (j'ai appliqué le theoreme des variations des equation du second degré (signe de a à l'exterieur des racines...) sur la fonction bi-carrée suivante
    x4x^4 + 3 x2x^2 - 4.
    Comme le résultat était bon, j'ai essayé plusieurs equations et j'en suis arrivé à cette conclusion :

    Si le discriminant est positif :

    1°-Pour toute fonction bi-carrée du type
    a x4x^4 + b x2x^2 + c avec a diff/ 0,
    si la fonction admet 2 solutions dans R, alors la courbe representant la fonction est du signe de a à l'exterieur des racines et du signe contraire de a à l'interieur des racines.

    2°-Pour toute fonction bi-carrée du type
    a x4x^4 + b x2x^2 + c avec a diff/ 0,
    si la fonction admet 4 solutions dans R, alors de part et d'autre de l'axe de symmétrie de la courbe, la courbe est du signe de a à l'exterieur des racines et du signe contraire de a à l'interieur des racines.

    Est-ce vrai? Y'a t-il un moyen de le prouver?



  • Remplace x^2 par X (grand x, c'est fait exprès). Puis résouds ça comme une équation du second degré. Voilà !



  • Il ne faut pas oublier que X = x^2 ce qui apporte une contrainte sur X, qui doit être positif ou nul.

    Donc l'équation en X devrait avoir des racines positives et dans ce cas l'équation en x a 4 racines. Sinon elle en a moins



  • Oui je sais qu'il faut la résoudre avec X=x² mais la question était à propos des variations de cette fonction (et comment je peux prouver qu'on peut appliquer le théoreme des variations d'une fonction d'une fonction du second degré (Signe de a a l'exterieur des racines, inverse à l'interieur) si elle à deux racines dans R, et l'appliquer de part et d'autre de l'axe de symmetrie de la courbe si elle a 4 racines).
    Merci
    Maza



  • Dans le premier cas de figure, c'est-à-dire lorsque

    f(x) = a x4x^4 + b x2x^2 + c

    possède seulement deux racines u et v, alors on a

    f(x) = a (x - u) (x - v) (x2(x^2 + p x + q)

    où le polynome de degré 2 n'a pas de racine (il est donc toujours positif).

    Dans ce cas, on voit que le signe de f(x) est le même que celui de
    g(x) = a (x - u) (x - v).

    Ta première affirmation est donc fondée.



  • J'oubliais que si le polynôme f ne change pas de signe, avec deux racines u et v il est alors de la forme
    f(x) = a (x - u)² (x - v)².
    Et alors ta première affirmation ne tient plus.


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