géométrie2

Ceci est un exercice de géométrie de type bac (S) que je dois faire en devoir maison. Je ne comprend vraiment pas grand chose et j’accepte donc toutes aides. Merci à tous ceux qui pourront m’aider.

Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O ;i ;j)

On désigne par C la courbe représentative de la fonction exponentielle f(x) = e^x . Pour tout point M d’abscisse t appartenant à C, on considère le point P de coordonnées (t ; 0) et le point N, point d’intersection de la tangente en M à C avec l’axe des abscisses.
Montrer que la distance PN est constante.
dans la suite de l’exercice, f désigne une fonction définie sur R , strictement positive, dérivable et dont la dérivée est strictement positive. Pour tout point M d’abscisse t appartenant à la courbe représentative de f , on considère le point P de coordonnées (t,0) et le point N, point d’intersection de la tangente en M à la courbe représentative de f avec l’axe des abscisses.
(a) Calculer la distance PN en fonction de f (t) et de f ’(t).
(b) Déterminer une équation différentielle (Ek) vérifiée par les fonctions f définies sur R , strictement positives, dérivables et dont la dérivée est strictement positive, pour lesquelles la distance PN est une constante k.
(c) Déterminer les fonctions f solutions de (Ek).

bon jour

pour la question 1 il faut savoir que le nombre dérivée en un point c'est le coefficient directeur de la tangent passant par ce point.
et que la dérivée de la fonction exp c'est elle même .

pour la question 2 vous utilisez la même propriété.

sans vouloir être méchan, je savais ceci depuis que j'ai appris la fonction expo, il y a maintenant 3-4 mois, mais je n'arrive toujours pas à résoudre bien cet exercice. merci d'être un peu plus clair. mais ne le prend pas mal. merci tout de meme de m'avoir répondu.

Salut...

pour ta question 1) je crois que tu dois faire comme ca:

D'abord, tu cherches la distance PN, donc pour ca tu as besoin de l'abscisse de P et de l'abscisse de N, et de soustraire Xp - Xn pour avoir ta distance.

Tu as déjà ton Xp = t , c'est dans ton énoncé.

Maintenant il te faut Xn.
Tu sais que N est le point d'intersection de la tangente à C en M (t; Ym) et de l'axe des abscisses, donc déjà tu peux dire que Yn = 0, wai?

Maintenant il te faut l'équation de cette sacré de tangente...
d'après la définition elle est de la forme: T: y = f'(a)(x-a) + f(a)
en mettant f(x) = e(x) et en se rappellant qu'elle passe par M (et donc a = t) on a:
T: y = e(t)(x-t) + e(t) = e(t)(x-t+1) en factorisant par e(t) (la voilà l'équation de T)

Tu veux le point N qui coupe l'axe des abscisses, donc là ou y = 0:
0 = e(t)(x-t+1) donc 2 solutions: e(t) = 0 ou x-t+1 = 0

e(t) = 0 n'a pas de solution, donc on se concentre sur
x-t+1 = 0 ca veut dire que x = t-1 (ca c'est notre abscisse du point N)

On a l'abscisse de P qui est t et l'abscisse de N qui est t-1, on les soustraie pour avoir la distance PN:
Xp - Xn = t-t+1 = 1 tu as donc prouvé que la distance est constante, et qu'elle est égale à 1!!

Resalut...j'espère que t'as pas encore rendu ton DM!!

Pour la 2ème question, tu suis le même raisonnement que pour la 1ère...
Tu cherches PN = Xp - Xn
Tu sais que Xp = t
Tu as besoin de Xn
Tu trouves l'équation de tangente à C en M:
y = f'(t)(x-t) + f(t) = xf'(t) - tf'(t) + f(t)
tu sais que y = 0 (N apprtient à T et intercepte l'axe des abscisses)
0 = xf'(t) - tf'(t) + f(t)
tu isoles x:
xf'(t) = tf'(t) - f(t)
x = t - f(t)/f'(t) (tu as ton Xn maintenant)

a) Tu fais ta soustraction:
PN = Xp - Xn = t - t + f(t)/f'(t) = f(t)/f'(t) (voilà ta distance en fonction de f et f')

b) ta distance PN égale à k est donc:
f(t)/f'(t) = k
tu isoles f'(t)
f'(t) = (1/k)*f(t)
et tu representes ton équation comme Ek:
f'(t) - (1/k)*f(t) = 0

c) je ne me rappelles plus parfaitement comment résoudre ca, si tu as une formule, mais en gros tu cherches la dérivée d'une fonction qui te donne la même fonction (pour qu'elles puissent s'annuler), mais avec un coefficient devant 1/k, c'est la fonction exponentielle, tiens quel hasard, comme dans l'exo 1
f(t) = e((1/k)*t)
tu vérifies: f'(t) = (1/k)*e((1/k)*t)
tu reprends ton équation:
f'(t) - (1/k)*f(t) = (1/k)*e((1/k)*t) - (1/k)*e((1/k)*t) = 0
Ca marche!
Tes solutions sont donc f(t) = e((1/k)*t) avec k appartient à R