Résoudre une inéquation polynôme de degré 2

Bonjour, j'aurais besoin de votre aide pour cet exercice svp.

Enoncé:
f est la fonction polynôme de degré 2 définie sur R par: f(x)= 0,1x²-0,6x+1,9
Le professeur a demandé à ses élèves de résoudre l'inéquation f(x)>=0.
Samy commence la résolution en calculant le discirminant .
Laetitia l'arrête :"C'est inutile, regarde ce que l'on obtient avec le logiciel":
forme canonique= 0,1(x-3)²+1

Expliquer le raisonnement de Laetitia et répondre à la question du professeur.

Solution:
Je ne comprends pourquoi Laeticia utilise la forme canonique car pour résoudre cette inéquation j'ai calculer le discriminant puis la forme canonique0 et dans les deux cas on trouve qu'il n'y a pas de solution.
Peut-être qu'avec la forme canonique on s'en rends compte plus vite mais je ne vois pas vraiment comment..

Merci pour votre aide.

Bonjour,

La question est "expliquer le raisonnement de Laétitia"
donc il faut expliquer comment la forme canonique conduit au résultat;
Un nombre au carré +1conduit à un résultat ........

Les deux méthodes, forme canonique et résolution de l'équation conduisent au résultat.

résutat avec la forme canonique 0,1(x-3)²+1 >= 0
0,1(x-3)²>= -1
(x-3)²>=-10 or le carré d'un nombre n'est jamais négatif donc S=Ø
Donc comme Laeticia a vu que c'est 0,1(x-3)**+**1 elle en a déduit qu'en passant +1 de l'autre côté il serait négatif

Il faut expliquer le passage de
0,1x²-0,6x+1,9 à 0,1(x-3)²+1
puis montrer que
0,1(x-3)²+1 est ≥ 0 quel que soit x.

0,1[( x+ (-0,6/0,2))² - ((-0,6)²-0,76)/0,04]

=0,1[(x²+2×(-0,6/0,2)x+(-0,6/0,2)²- (0,36/0,04)+(0,76/0,04)]

=0,1[x²-6x+9-9+19]

=0,1(x²-6x+19)

=0,1[(x-3)²-3²]+19

=0,1[(x-3)²+10]

=0,1(x-3)²+1

mais pour prouver que ∀x f(x)≥0 j'ai oublié comment on fait :rolling_eyes:

Pas très clair ce raisonnement
0,1x²-0,6x+1,9 =
0,1(x²-0,6x/0,1+1,9/0,1) =
0,1(x² -6x +19) =
0,1[(x-3)²-3²+19]=
0,1[(x-3)²+10] =
0,1(x-3)²+1
Quel est le signe de 0,1(x-3)² ?
si on ajoute +1 que peut-on dire de
0,1(x-3)²+1 ?

Le raisonnement que j'ai utilisé est celui partant de
ax²+bx+c= a[(x+(b/2a))²-(b²-4ac/4a²)]

0,1(x-3)² est positif donc si on rajoute +1 il sera toujours positif non?

C'est correct.

Donc en fait j'explique son raisonnement en disant qu'elle a trouvé que 0,1(x-3)² est positif donc si on y rajoute 1 il sera toujours positif donc 0,1(x-3)²+1≥0
0,1(x-3)²≥ -1
(x-3)²≥-10 or le carré d'un nombre n'est jamais négatif donc S=Ø

Pourquoi ajouter :
0,1(x-3)²≥ -1
(x-3)²≥-10 ?

Pour répondre à la question du professeur

La question du professeur est résoudre f(x) ≥ 0.

Oui pour résoudre f(x)≥0 il faut calculer le discrimiant
Δ=b²-4ac
Δ=(-0,6)²-4×0,1×1,9
Δ= -0,4
Δ<0 donc l’équation n'admet pas de solution.

Ou en utilisant la forme canonique
0,1(x-3)²+1≥0
0,1(x-3)²≥ -1
(x-3)²≥-10 or le carré d'un nombre n'est jamais négatif donc S=Ø
non?

Pour la première méthode, la résolution de l'équation n'est pas suffisante. il reste à montrer que le trinôme est positif (propriété).

la méthode 2 est correcte
tu peux aussi indiquer comme préciser dans un précédent mail :
"0,1(x-3)² est positif donc si on rajoute +1 il sera toujours positif"

Ok merci beaucoup pour votre aide