Ex SUR LES SUITES aUn+b

[xavierrff]

Bonjour,
Je voudrais quelques tuyaux pour ces exos de TS, ce sont des exos bonus pour mon DM, j’aimerais bien réussir et comprendre ! et pour l’instant je ne vois pas du tous comment faire !

Ex 1 : Suite du type $U_{n+1}$ = a $U_n$ + b

U est la suite définie par la donnée de $U_0$ et pour tout n de N, $U_{n+1}$ = a $U_n$ + b (avec a différent de 0 et 1)
V est la suite définie pour tout n de N par $V_n$ = $U_n$ - (alpha) avec (alpha) réel.

a) Démontrer qu’il existe un reel (alpha), et un seul (à exprimer en fonction de a et b) tel que la suite V soit géométrique.

b) Exprimer $V_n$ puis $U_n$ en fonction de n.

c) Pour quelle valeurs de a, la suite U est elle convergente ?
Quelle est alors sa limite ?

Ex 2 :

La suite U est définie pour tout entier naturel n >= 1 par :

Un= 1 +(1/$sqrt$2) + (1/$sqrt$3) +...+ (1/$sqrt$n)

Quelle est la limite de la suite U ?

Merci.

[Zauctore]

Salut.

Ex 1

a)
Il s'agit de former une relation du genre
$V_{n+1}$ = q $V_n$.

$V_{n+1}$ = $U_{n+1}$ - (alpha)
= a $U_n$ + b - (alpha)
= a $(U_n$ - (alpha)) + b - (alpha) (1 - a)
pour faire apparaître $V_n$ ...

D'où V géométrique si et seulement si
b - (alpha) (1 - a) = 0,
ce qui te donne (alpha).

Il faut remarquer que cet (alpha) est en fait le point fixe de la fonction affine
f : x -> a x + b, qui définit la relation de récurrence.