Ex SUR LES SUITES aUn+b



  • Bonjour,
    Je voudrais quelques tuyaux pour ces exos de TS, ce sont des exos bonus pour mon DM, j’aimerais bien réussir et comprendre ! et pour l’instant je ne vois pas du tous comment faire !

    Ex 1 : Suite du type Un+1U_{n+1} = a UnU_n + b

    U est la suite définie par la donnée de U0U_0 et pour tout n de N, Un+1U_{n+1} = a UnU_n + b (avec a différent de 0 et 1)
    V est la suite définie pour tout n de N par VnV_n = UnU_n - (alpha) avec (alpha) réel.

    a) Démontrer qu’il existe un reel (alpha), et un seul (à exprimer en fonction de a et b) tel que la suite V soit géométrique.

    b) Exprimer VnV_n puis UnU_n en fonction de n.

    c) Pour quelle valeurs de a, la suite U est elle convergente ?
    Quelle est alors sa limite ?

    Ex 2 :

    La suite U est définie pour tout entier naturel n >= 1 par :

    Un= 1 +(1/sqrtsqrt2) + (1/sqrtsqrt3) +...+ (1/sqrtsqrtn)

    Quelle est la limite de la suite U ?

    Merci.



  • Salut.

    Ex 1

    a)
    Il s'agit de former une relation du genre
    Vn+1V_{n+1} = q VnV_n.

    Vn+1V_{n+1} = Un+1U_{n+1} - (alpha)
    = a UnU_n + b - (alpha)
    = a (Un(U_n - (alpha)) + b - (alpha) (1 - a)
    pour faire apparaître VnV_n ...

    D'où V géométrique si et seulement si
    b - (alpha) (1 - a) = 0,
    ce qui te donne (alpha).

    Il faut remarquer que cet (alpha) est en fait le point fixe de la fonction affine
    f : x -> a x + b, qui définit la relation de récurrence.


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