Suite : Convergence

Bonjour ! J'aurais besoin de votre aide pour faire cet exos ... Les 2H passés dessus ne m'ont pas permis d'arriver a trouver une solution ...Voilà pourquoi je sollicite vraiment votre aide

Pour tout naturel p , on pose :

Up = 1/ ((2p-1)(2p+1))

Trouvez deux réels a et b tels que pour tout naturel p ,

Up = ( a/(2p-1) ) + ( b/(2p+1 )

J'ai tout essayé , j'ai essayé de mettre au même dénominateur , de commencer par la fin pour arriver a la première relation ... rien ....

Pour tout naturel Sn = U0 + U1 + ... + Un

Exprimer Sn en fonction de n et trouvez la limite de la suite ( Sn )

Là c'est pareil je bloque....

l'exercice n'est pas vraiment fini , il y a 2 autre question juste après que j'ai réussi a faire , et que l'on peut faire indépendamment de cette partie voilà pourquoi je sollicite votre aide seulement sur cette partie ^^

Merci vraiment d'avance pour ceux et celles qui m'aideront

Bonjour,

Pour le 1) , tu réduis au même dénominateur puis tu procèdes par identification. (comme en Première )

Bonjour , merci de m'avoir répondu ^^

En faisant ce que tu me dit , voilà ce que j'ai trouvé ! :

[ a(2p+1) + b(2p-1) ] / [( 2p -1 ) (2p+1) ]

Puis pour le numérateur : (2a+2b)p + a-b = 1

Donc 2a + 2b = 0 et a-b = 1 ?

Après je bloque ...:/

Tu résous ce petit système ( par combinaison ou substitution )

Par combinaison ?

C'est à dire a-b = 2b + 2a ?

Ah un système alors :

2a+2b = 0
a-b =1

2a+2b=0
a=1+b

2(1+b)+2b=0

2+2b+2b=0

4b=-2

b=-1/2

C'est sa ?

Si ce a dans ce cas là la valeurs de a est 0.5 ( 1+b = 1+ (-1/2) ) ?

Et je bloque toujours pour la 2 ) ...

Et je bloque toujours pour la 2 ) ...

OK pour tes réponses à a et b

Pour la 2) , utilise la réponse de la 1 ( elle est faite pour cela ) et tu verras que presque tout se simplifie.

D'accord

Donc il faut que je remplace dans U0 par exemple p par 0 ?

Ou alors c'est a et b que je doit remplacer ?

C'est une suite arithmétique de raison -1/2 ????

Oui , tu remplaces successivement p par 0 , puis 1 , puis 2 , ..., puis n

Tu verras ce qui reste en ajoutant ( et en simplifiant )

Désolé pour mon abscence , petit souci de connexion....

En ajoutant sa donne Sn = (-a + b ) + ( a + b/3 ) + ... ( a/(2n-1) ) + ( b/(2n+1 )

Le souci c'est que je ne vois pas comment je peux l'exprimer en fonction de n .... il faut que je mette au même dénominateur ?

En remplaçant a et b sa donne :

Sn = ( 0.5 -(0.5/3) ) + ... ( 0.5/(2n-1) ) + ( -0.5/(2n+1 )

J'ai juste ?

oui , mais si tu ne mets que les deux premiers termes et les deux derniers , il est difficile de voir les simplifications...et tu ne les vois pas...

Alors , mets en plus et comprends les simplifications.

Sn = ( -0.5 - 0.5 ) + ( 0.5 -0.5/3 ) + ( 0.5/3 -0.5/5 ) + ( 0.5/5 -0.5/7 ) ..... ( 0.5/(2p-1) ) + ( -0.5/(2p+1) )

A chaque fois il y a un " terme " qui s'annule , sauf -0.5 ( le 1er )

Il y a assez de terme ? et donc en fonction de n sa donnerais -0.5 +( 0.5/(2p-1) ) + ( -0.5/(2p+1) ) ?

Presque...

Mets plus de termes vers la fin pour mieux comprendre.

Il devrais te rester , après simplification que le premier terme ( c'est ce que tu as indiqué ) et le dernier .

Sn = ( -0.5 - 0.5 ) + ( 0.5 -0.5/3 ) + ( 0.5/3 -0.5/5 ) + ( 0.5/5 -0.5/7 ) + .......+ ( 0.5/(2(p-1)-1) -0.5/(2(p-1)+1) ) + ( 0.5/(2p-1) -0.5/(2p+1) )

( en devellopant l'avant dernier termes sa donne : ( 0.5/(2p-3)-0.5/(2p-1) )

Donc il reste -0.5 et -0.5/(2p-1) ; -0.5 - 0.5/(2p-1)

et donc Sn en fonction de n c'est Sn = -0.5 - 0.5/(2n-1)

Voilàà j'ai juste ? ( et la limite en + l'infini dans ce cas là serait -0.5 ? )

Presque , mais pas tout à fait...

Ce n'est pas l'avant dernier terme qui reste ...c'est le dernier

C'est à dire ; -0.5/(2p+1) ? J'ai dévellopper l'avant dernier terme a part pour pouvoir ensuite l"annulé "

Donc 1er terme : -0.5 et dernier terme : -0.5/(2p+1)

-0.5-0.5/(2p+1) ? Excusez moi si ce n'est pas ça ^^

C'est bon !

Ah super ^^ Donc la limite est bien -0.5 ?

OUI !

D'accord ! Je tient vraiment a vous remercier pour le temps que vous m'avez accorder !!!! MERCI !!

C'etait avec plaisir et bon travail !