Période et dérivabilité

Bonjour voici mon problème :
Soit f une fonction définie par f=2cos(x) + sin(2x).

Montrer que f est périodique. Déterminer sa période. (je ne sais absolument pas comment m'y prendre !)
Etudier la dérivabilité de f. (Peut-on juste dire que les fonctions sinu et cosinus sont dérivable sur R ?)
Calculer la dérivé de f'.

Merci de votre futur aide.

Bonjour,

Piste pour débuter ,

x -> cosx est périodique de période 2π

x -> sinx est périodique de période 2π

Déduis en la période de x -> sin2x , puis de f

La période de sin2x serait 4n ? ou 2n² ?

Non...

x -> sinx est périodique de période 2π veut dire que 2π est la plus petite valeur positive fixe que l'on peut ajouter à "l'angle" pour obtenir le même sinus

$\text{\sin(a+2\pi)=\sin a$

Donc :

$\text{\sin(2x+2\pi)=\sin 2x$

En mettant 2 en facteur , tu dois trouver qu'elle valeur il faut ajouter à x

Donc pour trouver la periode si je comprend bien :
f(x + T) = f(x)
Donc en mettant deux en facteur j'ai 2(x+pi)
f(x+x+pi) = f(x) ?
Je ne comprend vraiment rien, on a jamais fais d'exercice la dessus !

$\text{\sin(2(x+\pi))=\sin%202x$

Donc x -> cosx a pour période 2π et x -> sin2x a pour période π

Essaie d'en déduire la période de f ( qui doit être le plus petit multiple commun des deux périodes )

Je ne connait même pas la notion de période, mais je vais dire période n ?

Non , ce n'est pas π , c'est 2π ( mais je te conseille de prendre ton manuel pour comprendre la notion de période )

Une vérification , pour t'éclairer un peu...:

$f(x+2π)=2cos⁡(x+2π)+sin⁡(2(x+2π))=2cos⁡(x+2π)+sin⁡(2x+4π)=2cos⁡x+sin⁡2x=f(x)f(x+2\pi)=2\cos (x+2\pi)+\sin(2(x+2\pi))=2\cos (x+2\pi)+\sin(2x+4\pi)=2\cos x+\sin 2x=f(x)$

Si tu prenais π , ça conviendrait pour sin2x mais pas pour cosx :

Regarde :

$f(x+π)=2cos⁡(x+π)+sin⁡(2(x+π))=2cos⁡(x+π)+sin⁡(2x+2π)=2cos⁡(x+π)+sin⁡2xf(x+\pi)=2\cos (x+\pi)+\sin(2(x+\pi))=2\cos (x+\pi)+\sin(2x+2\pi)=2\cos (x+\pi)+\sin 2x$

Tu ne retrouves pas 2cosx car cos(x+π) ne vaut pas cosx mais -cosx

Pour la dérivabilité : oui ; Précise que f est une combinaison linéaire de fonctions dérivables sur R , donc f dérivable sur R.

Indique l'expression trouvée pour f'(x) si tu as besoin d'une vérification.

Jai trouve $4sin^2$ x -2sinx +2 est ce juste ?
Il faut ensuite etudier le signe de f'(x) et lon me dit de resoudre $4X^2$ -2X +2>0
mais je ne trouve pas toute les solutions pourriez vous maider ?

Ta dérivée est bonne.

Ensuite , tu commences par résoudre -4X²-2X+2=0

Tu dois trouver X=-1/2 , X=-1

Vu que X=sinx , tu déduis que la dérivée d'annule pour sinx=1/2 et pour sinx=-1

Vu que tu travailles sur une prériode , je suppose que tu as choisi [0,2π]

Avec les angles remarquables , tu trouves les valeurs de x telles que sinx=1/2 et puis sinx=-1 ( au total , 3 valeurs de x )

Dans ton tableau de variation ( x ∈ [0,2π] ) , tu places ces 3 valeurs.

Il te reste enfin à trouver le signe de f'(x) sur chacun des 4 intervalles ainsi définis.

REMARQUE : si tu préfères travailler sur des termes du premier degré , tu peux factoiser

f'(x)=-2(sinx+1)(2sinx-1) et trouver le signe de chaque facteur puis du produit.

Tu as le choix !

Oui ce sont bien les valeurs aue je trouve mais comment estce que je reussi a trouver 3 valeurs ? Les angles remarquqbless ?

Oui . les angles remarquables.

Aide toi , si besoin , du cercle trigonométrique.

sinx=1/2 pour x=π/6 et pour x=...

sinx=-1 pour x=3π/...

D'ou viens le n/6 ? Et le 3n ?

J'espère que tu as compris que dans ma dernière réponse les pointillés (...) doivent être remplacés par les bonnes valeurs !

Comme je te l'ai déjà dit , utilise les angles remarquables.

Aide toi du cercle trigonométrique

Tu places 1/2 sur l'axe des ordonnées et tu en déduis les valeurs remarquables des angles
Idem pour -1

(Bien sûr , donne des valeurs comprises entre 0 et 2π , si tu travailles sur [0,2π])

Pour 1/2 jai ∏/6 et -5∏/6
Et pour 1 j'ai ∏/2 et -3∏/2

Comme je te l'ai déjà dit , donne des valeurs POSITIVES comprises entre 0 et 2∏

Pour 1/2 , ∏/6 est bon mais pas l'autre

Pour -1 , à revoir aussi.

Je voulais dire 5∏/6 enfete !
Et pour -1 il sagit de 3∏/2
Mais je ne comprend pas en quoi ca mavance ? Je ne trouve pas de solution a linequation donnee !

OK pour tes 3 valeurs qui annulent la dérivées

∏/6 , 5∏/6 et 3∏/2

Tu as ainsi 4 intervalles sur lesquels tu doit trouver le signe de f'(x) :

[0,∏/6[ , ]∏/6,5∏/6[ , ]5∏/6, 3∏/2[ , ]3∏/2 , 2∏]

Tu chacun de ces intervalles , il te reste à trouver le signe de f'(x)

Tu peux factoriser f'(x) en f'(x)=-2(sinx+1)(2sinx-1)

Sur chaque intervalle ,en regardant le cercle trigonométrique , tu peux trouver le signe de chaque facteur donc celui du produit : Fais un tableau de signes.

Oui mais lenonce nous dis de resoudre $4X^2$ -2X + 2 > 0 !
Donc il faut aue j'utilise cette methode et non celle que vous me proposer avec la factorisation ! Donc je trouve comme solution-1 et 1/2 ...

Fais donc comme te dit l'énoncé , cela revient au même ( mais j'ignorais qu'il y avait ne méthode indiquée dans ton énoncé ! )

Attention : ne confonds pas les solutions de X ( qui représente sinx) et les valeurs correspondantes de x

-4X² -2X + 2 > 0 < = > -1 < X < 1/2 ( signe d'un polynome du second degré )

D'ou -1 < sinx < 1/2

En regardant sur le cercle trigonométrique , tu en déduis les intervalles associés pour x , sur [0 , 2∏] : tu obtiendras ainsi les valeurs de x pour lequelles f'(x) > 0

Tu pourras en déduire les valeurs pour lesquelles f'(x) < 0

Je ne te suis pas vraiment !
Alors jai calculer les solution de $4X^2$ -2X + 2 et jobtiens X = -1 et X= 1/2
je dis que X=sinx donc sinx = 1/2 ou sinx =-1
d'ou sinx = 3∏/2 , sinx = 5∏/6 et sinx = ∏/6 et ensuite je fais un tableu de signe cest ca ?

On trouve en rond !

Si l'énoncé t'impose d'utiliser -4X² -2X + 2 > 0 , tu le fais ( relis mon dernier message )

Oui mais je demmande si je peux poser X=-1 donc sinx=-1 d'ou sinx=3∏/2 et ainsi de suite.
J'ai fait un tableau de signe avec toutes les valeurs précédentes

Oui , c'est bien ce qu'il faut faire

Au final , pour le signe de f'(x) , tu dois trouver :

Pour 0 ≤ x< ∏/6 : f'(x) positif

Pour x = ∏/6 : f'(x)=0

Pour ∏/6 < x <5∏/6 : f'(x) négatif

Pour x = 5∏/6 : f'(x)=0

Pour 5∏/6 < x< 3∏/2 : f'(x) positif

Pour x = 3∏/2 : f'(x)=0

Pour 3∏/2 < x ≤ 2∏ : f'(x) positif

Très bien c'est bien ce que j'ai trouvé !
Merci beaucoup pour votre aide, bonne journée !

Ce fut dur mais si tu as compris , c'est parfait !