Démontrer par récurrence qu'une suite est majorée et déterminer son sens de variations

Bonjour j'ai un nouveau problème à vous soumettre concernant les suites :
On considère la suite numérique définie par Uo = -1 et Un+1 = (3+2Un)/(2+Un)

Demontrer que la suite est majorée par √3.
Par recurrence je ne l'est pas réussie !
Determiner le sens de variation de U. (je n'ai pas non plus réussi avec la récureence)
J'ai surement dut mal m'y prendre, j'aimerai un peu d'aide, merci beaucoup !

Bonjour,

La suite est majorée
si quelquesoit n, Un <= √3

Ainsi il faut montrer par
exemple pour n+1 que Un+1 <= √3
donc (3+2Un)/(2+Un) <= √3

... à developper

Oui justement c'est de que j'ai fait mais au final je me retrouve avec :
(3+2Un)/(2+Un) ≤ (2√3 + 3) / (2+Un)
Je ne peux pas conclure que Un+1 ≤ √3 si ?

Mon idée (mauvaise ...) était la suivante

(3+2Un)/(2+Un) <= √3

=> sachant que u0 = -1, u1 = 1, u2 = 5/3 ...
et sachant que 2 + Un > 0 (à démontrer)
alors on peut écrire 3+2Un <= √3 (2+ Un)
<=> Un (2 - √3) <= 2√3 -3

<=> Un <= (2√3 -3) / (2 - √3)

<=> Un <= (2√3 -3) / (2 - √3) X (2 + √3) / (2 + √3)
<=> Un <= √3

donc je viens de démontrer
que si Un+1 <= √3 alors Un <= √3

Mais j'ai un doute SERIEUX sur la validité de cette démonstration
car il faudrait pour bien faire

montrer que U0 < √3 (facile)
puis que si Un <= √3 alors Un+1 <= √3 et non pas le contraire ...

Bon il y aura bien un internaute éclairé
pour mettre sur la voie

Oui justement j'y avais pensé à faire le contraire mais je ne savais pas si j'avais le droit ou si c'était un "Théorème élève" comme dirait mon prof de math !

Oui justement j'y avais pensé à faire le contraire mais je ne savais pas si j'avais le droit ou si c'était un "Théorème élève" comme dirait mon prof de math !

Théorême élève : sympa cette expression !

Sinon peut-être essayer d'écrire Un+1 = (3+2Un)/(2+Un)
sous la forme Un = (...) Un+1

pour pouvoir démontrer que Un < √3 => (...) Un+1 < √3

Bonjourmessinmaisoui et rebonjour Loulouty ,

Une piste possible pour démontrer que $U_{n+1}$ ≤√3 ( sachant que Un ≤√3 ),

L'étude de la fonction f définie par f(Un)=(3+2Un)/(2+Un) parait très bien convenir.

Pour n ≥ 1 , Un ≥ 0 ( facile à prouver )

Pour 0 ≤ Un ≤ √3 , la fonction f est strictement croissante ( dérivée égale à 1/(un+2)² )
f varie de f(0) qui vaut 1.5 à f(√3) qui vaut √3

Donc f(Un) ≤ √3 , c'est à dire $U_{n+1}$ ≤ √3

CQFD

Bonjour mtschoon

Effectivement j'avais pensé à la dérivée
vu le coté "fonction rationnelle" de (3+2Un)/(2+Un)
mais Un+1 en fonction de Un m'avait fait hésiter
donc cette partie en somme
=> Donc f(Un) ≤ √3 , c'est à dire Un+1 ≤ √3

Mais bon f(Un) = Un+1 ... après tout quoi de dérangeant

Il n'y a rien d'original messinmaisoui...Poser Un+1=f(Un) et étudier f , est une méthode très classique dans le programme de la classe de Terminale S
On peut , bien sûr , poser Un=x et étudier x -> f(x) pour conserver les notations habituelles.

Loulouty a dû voir ce type de méthode en cours...en principe ...

Eh bien oui biensur, comment n'ai-je pas put penser à ça ! Tout paraît plus simple maintenant !
Mais pour étudier les variations de Un, est-ce que je peux aussi utiliser la suite f(Un) et dire qu'elle est strictement croissante la suite est aussi croissante ?

Oui , mais ta démarche n'est pas bonne...

Ce n'est pas parce que f est croissante que la suite est croissante (il y a une chance sur deux!)

Conjecture le sens de variation de la suite en comparant $U_0$ et $U_1$

$U_0$ =... $U_1$ =... donc $U_0$ ... $U_1$

Tu supposes que $U_n$ ... $U_{n+1}$

Vu que f est croissante , l'ordre est respecté :

Donc : $f(U_n$ ) ... $f(U_{n+1}$ )

C'est à dire :

$U_{n+1}$ ... $U_{n+2}$

D'où la conclusion sur le sens de variation de la suite.