Démontrer par récurrence qu'une suite est majorée et déterminer son sens de variations



  • Bonjour j'ai un nouveau problème à vous soumettre concernant les suites :
    On considère la suite numérique définie par Uo = -1 et Un+1 = (3+2Un)/(2+Un)

    1. Demontrer que la suite est majorée par √3.
      Par recurrence je ne l'est pas réussie !
    2. Determiner le sens de variation de U. (je n'ai pas non plus réussi avec la récureence)
      J'ai surement dut mal m'y prendre, j'aimerai un peu d'aide, merci beaucoup !


  • Bonjour,

    La suite est majorée
    si quelquesoit n, Un <= √3

    Ainsi il faut montrer par
    exemple pour n+1 que Un+1 <= √3
    donc (3+2Un)/(2+Un) <= √3

    ... à developper



  • Oui justement c'est de que j'ai fait mais au final je me retrouve avec :
    (3+2Un)/(2+Un) ≤ (2√3 + 3) / (2+Un)
    Je ne peux pas conclure que Un+1 ≤ √3 si ?



  • Mon idée (mauvaise ...) était la suivante

    (3+2Un)/(2+Un) <= √3

    => sachant que u0 = -1, u1 = 1, u2 = 5/3 ...
    et sachant que 2 + Un > 0 (à démontrer)
    alors on peut écrire 3+2Un <= √3 (2+ Un)
    <=> Un (2 - √3) <= 2√3 -3

    <=> Un <= (2√3 -3) / (2 - √3)

    <=> Un <= (2√3 -3) / (2 - √3) X (2 + √3) / (2 + √3)
    <=> Un <= √3

    donc je viens de démontrer
    que si Un+1 <= √3 alors Un <= √3

    Mais j'ai un doute SERIEUX sur la validité de cette démonstration
    car il faudrait pour bien faire

    1. montrer que U0 < √3 (facile)
    2. puis que si Un <= √3 alors Un+1 <= √3 et non pas le contraire ...

    Bon il y aura bien un internaute éclairé
    pour mettre sur la voie 😉



  • Oui justement j'y avais pensé à faire le contraire mais je ne savais pas si j'avais le droit ou si c'était un "Théorème élève" comme dirait mon prof de math !



  • Oui justement j'y avais pensé à faire le contraire mais je ne savais pas si j'avais le droit ou si c'était un "Théorème élève" comme dirait mon prof de math !



  • Théorême élève : sympa cette expression !

    Sinon peut-être essayer d'écrire Un+1 = (3+2Un)/(2+Un)
    sous la forme Un = (...) Un+1

    pour pouvoir démontrer que Un < √3 => (...) Un+1 < √3


  • Modérateurs

    Bonjourmessinmaisoui et rebonjour Loulouty ,

    1. Une piste possible pour démontrer que Un+1U_{n+1} ≤√3 ( sachant que Un ≤√3 ),

    L'étude de la fonction f définie par f(Un)=(3+2Un)/(2+Un) parait très bien convenir.

    Pour n ≥ 1 , Un ≥ 0 ( facile à prouver )

    Pour 0 ≤ Un ≤ √3 , la fonction f est strictement croissante ( dérivée égale à 1/(un+2)² )
    f varie de f(0) qui vaut 1.5 à f(√3) qui vaut √3

    Donc f(Un) ≤ √3 , c'est à dire Un+1U_{n+1} ≤ √3

    CQFD



  • Bonjour mtschoon

    Effectivement j'avais pensé à la dérivée
    vu le coté "fonction rationnelle" de (3+2Un)/(2+Un)
    mais Un+1 en fonction de Un m'avait fait hésiter 😕
    donc cette partie en somme
    => Donc f(Un) ≤ √3 , c'est à dire Un+1 ≤ √3

    Mais bon f(Un) = Un+1 ... après tout quoi de dérangeant 😉


  • Modérateurs

    Il n'y a rien d'original messinmaisoui...Poser Un+1=f(Un) et étudier f , est une méthode très classique dans le programme de la classe de Terminale S
    On peut , bien sûr , poser Un=x et étudier x -> f(x) pour conserver les notations habituelles.

    Loulouty a dû voir ce type de méthode en cours...en principe ...



  • Eh bien oui biensur, comment n'ai-je pas put penser à ça ! Tout paraît plus simple maintenant !
    Mais pour étudier les variations de Un, est-ce que je peux aussi utiliser la suite f(Un) et dire qu'elle est strictement croissante la suite est aussi croissante ?


  • Modérateurs

    Oui , mais ta démarche n'est pas bonne...

    Ce n'est pas parce que f est croissante que la suite est croissante (il y a une chance sur deux!)

    Conjecture le sens de variation de la suite en comparant U0U_0 et U1U_1

    U0U_0=... U1U_1=... donc U0U_0 ... U1U_1

    Tu supposes que UnU_n ... Un+1U_{n+1}

    Vu que f est croissante , l'ordre est respecté :

    Donc : f(Unf(U_n) ... f(Un+1f(U_{n+1})

    C'est à dire :

    Un+1U_{n+1} ... Un+2U_{n+2}

    D'où la conclusion sur le sens de variation de la suite.


 

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