Démonstration par récurrence



  • Bonjour,

    J'ai plusieurs exos à faire (que je pense plus ou moins avoir réussi) mais je bloque sur une petite démonstration par récurrence :
    La voici :

    n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2.
    Démontrer que pour tout réel x :
    xnx^n - 1 = (x1)(xn1(x-1)(x^{n-1} + xn2x^{n-2} + ... + x + 1)

    Alors voici le début de ma réponse :

    Démontrons que pour tout réel x, xnx^n - 1 = (x1)(xn1(x-1)(x^{n-1} + xn2x^{n-2} + ... + x + 1)

    Montrons que pour n = 2 la propriété est vraie :
    On a :
    (x - 1) (x + 1)
    <-> x² + x - x - 1
    <-> x² - 1 = xnx^n - 1 (avec n = 2).

    Pour n = 2, la propriété est donc vraie.

    Soit n >= 2, tel que la propriété soit vraie, montrons que pour n+1, elle l'est aussi.

    On a donc pour n+1 :
    (x(n+1)1(x^{(n+1)-1} + x(n+1)2x^{(n+1)-2} + ... + x + 1)(x-1) = xn+1x^{n+1} -1

    Ensuite j'comprends plus 😕

    Vous pourvez m'aider svp ! :frowning2:

    Merci beaucoup pour vos réponses !



  • Je dirais plutôt ça comme ça :

    (xn(x^n + xn1x^{n-1} + ... + x + 1)(x - 1)
    = xnx^n (x - 1) + (xn1(x^{n-1} + ... + x + 1)(x - 1)
    = xn+1x^{n+1} - xnx^n + xnx^n - 1
    d'après l'HR.

    L'hérédité en découle.


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