3. Démonstration d'une propriété contenant des puissances par récurrence

Démonstration d'une propriété contenant des puissances par récurrence

  • G

    Bonjour,

    J'ai plusieurs exos à faire (que je pense plus ou moins avoir réussi) mais je bloque sur une petite démonstration par récurrence :
    La voici :

    n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2.
    Démontrer que pour tout réel x :
    xnx^nxn - 1 = (x−1)(xn−1(x-1)(x^{n-1}(x−1)(xn−1 + xn−2x^{n-2}xn−2 + ... + x + 1)

    Alors voici le début de ma réponse :

    Démontrons que pour tout réel x, xnx^nxn - 1 = (x−1)(xn−1(x-1)(x^{n-1}(x−1)(xn−1 + xn−2x^{n-2}xn−2 + ... + x + 1)

    Montrons que pour n = 2 la propriété est vraie :
    On a :
    (x - 1) (x + 1)
    <-> x² + x - x - 1
    <-> x² - 1 = xnx^nxn - 1 (avec n = 2).

    Pour n = 2, la propriété est donc vraie.

    Soit n >= 2, tel que la propriété soit vraie, montrons que pour n+1, elle l'est aussi.

    On a donc pour n+1 :
    (x(n+1)−1(x^{(n+1)-1}(x(n+1)−1 + x(n+1)−2x^{(n+1)-2}x(n+1)−2 + ... + x + 1)(x-1) = xn+1x^{n+1}xn+1 -1

    Ensuite j'comprends plus 😕

    Vous pourvez m'aider svp ! :frowning2:

    Merci beaucoup pour vos réponses !

    Zauctore 1 réponse
  • Zauctore

    Je dirais plutôt ça comme ça :

    (xn(x^n(xn + xn−1x^{n-1}xn−1 + ... + x + 1)(x - 1)
    = xnx^nxn (x - 1) + (xn−1(x^{n-1}(xn−1 + ... + x + 1)(x - 1)
    = xn+1x^{n+1}xn+1 - xnx^nxn + xnx^nxn - 1
    d'après l'HR.

    L'hérédité en découle.

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