Dresser le tableau de variation d'une fonction rationnelle

Bonjour ! Après plusieurs tentative , j'ai décidé de demander de l'aide pour un exos...

f est la fonction définie sur R - (-1) par : f(x) = $x^3$ / (x+1)

Démontrez que f est strictement croissante sur l'intervalle [ -(3/2) ; -1[
Complétez le tableau de variations de f sur [-(3/2) ; -1[
Déterminez f ( [-(3/2) ; -1[ ) et déduisez que l'équation f(x) = 10 a une solution unique dans [-(3/2) ; -1 [

Je n'arrive a faire aucun exercice ... Mon tableau a la 2 est faux puisqu'à la calculatrice je n'obtient pas la même chose , bref je demande vraiment votre aide

Merci d'avance a tout ceux qui prendront de leurs temps pour me répondre .

J'ai un peu avancé...je pense que pour la 1 , il faut calculer la dérivé :

3x² * (x+1 ) - ( (1 * x^3 ) ) / (x+1) ²

= [ 3x^3 + 3x² - x^3 ] / (x+1)²

= [ 2x^3 + 3x² ] / (x+1 ) ²

Mais je bloque après et je ne suis même pas sûr de ce que j'ai fait ...

Bonsoir,

Ta dérivée est bonne , mais mets x² en facteur :

$\text{f'(x)=\frac{x^2(2x+3)}{(x+1)^2}$

Tu cherches , sur l'intervalle donné , le signe de chacune des expressions et tu tires la conclusion.

D'accord , merci ! Donc x = 0 ou -3/2 ?

Voilà , et pour la 2. sa me donne ça ^^ :

http://img11.hostingpics.net/pics/686199Sanstitre1.png

Je ne comprends pas ce que tu veux dire x: =0? x=-3/2 ???

Tu travailles sur [-3/2, -1[

Sur cet intervalle , tu cherches le signe de x² , de (2x+3) , de (x+1)² , et tu déduis le signe de f'(x) ( tu trouveras f'(x)> 0)

la dérivée est positive sur l'intervalle [-3/2 ; 0] , donc elle est positive sue l'intervalle [ -(3/2) ; -1[, et donc que la fonction est strictement croissante sur cet intervalle ^^

J'ai pas vraiment compris mon erreur...

[-3/2 ; 0] n'a rien àvoir ici ...

l ne faut pas dire , il faut PROUVER

Sur [-3/2 ; -1[:
x² > 0
(x+1)² >0
Cherche le signe de (2x+3) et conclus

ah je comprend ! Donc lorsque x est inférieure a -3/2 , (2x+3) est négatif et lorsque x est supérieure a -3/2 , x est positif. Donc la courbe est croissante sur [-3/2 ; -1[.

Est ce qu'il faut que je précise + ?

Pour la 3 j'utilise le théoréme des valeurs intrmédiaire mais comment ?

ah je comprend ! Donc lorsque x est inférieure a -3/2 , (2x+3) est négatif et lorsque x est supérieure a -3/2 , x est positif. Donc la courbe est croissante sur [-3/2 ; -1[.

Est ce qu'il faut que je précise + ?

Pour la 3 j'utilise le théoréme des valeurs intrmédiaire mais comment ?

Si tu organises bien l'explication , ce sera bon.

Mais fais attention au terme : c'est la FONCTION qui est croissante

Pour la 3) effectivement , utilise le théorème des valeurs intrmédiaires ( cas de la bijection

f est continue et strictement croissante de [-3/2, -1[ vers [0,+∞[

10 ∈ [0,+∞[ donc .............................

donc il y a forcément un réel c tel que f(c) = 10 ?

Oui , mais précise plus : vu que f est STRICTEMENT croissante , c est UNIQUE.

Oui en effet ^^ Merci !

et pour "Déterminez f ( [-(3/2) ; -1[ )" , c'est f(-3/2)= 27/4 et f(1) quand x<1 f(1) = + l'infini donc f([-(3/2) ; -1[ ) = [27/4 ; + l'infini[ ???

Oui ; si tu as fait le tableau de variation de f , tu dois avoir trouvé tous ces éléments .

Remarque : ne parle pas de f(-1) car c'est incorrect ; f(-1) n'existe pas . Parle de "LIMITE"

Oui d'accord ^^

Merci !!! Merci vraiment pour votre aide et le temps que vous y avez consacré ^^

C'est très bien si cela t'a aidé.

Bon dimanche(et bon DM , bien sûr )