Probleme vecteur

J'ai un exercice que je n'arrive pas s'il vous plait pouvez vous m'aider ?

Construire un triangle ABC tel que AC = 15, AB = 9 et BC = 12. Quelle est sa nature?
Construire le point I tel que IA + 2IB + IC = 0 (vecteurs)

3)a) Montrer que quel que soit le point M du plan, on a MA + 2MB + MC = 4MI (vecteurs)

b) Déterminer et construire l'ensemble E des points M du plan tels que : MA + 2MB + MC = CA (tous des vecteurs)

c) Déterminer et construire l'ensemble F des points M du plan tels que :
||MA + 2MB + MC|| = ||CA||

Justifier que ce dernier ensemble passe par B et par B', milieu de [AC]

Pour les 3 premieres question, j'ai trouvé mais pour la 4) je bloque complétement

Je sais qu'il faut remplacer M par B et B' mais si je remplace cela me fait :

||BA + 2BB + BC|| = ||BA+BC||

Donc je ne retrouve pas le meme resultat
Comment je dois faire s'il vous plait ?

ABC est un triangle rectangle en B (pythagore)

Si on appelle B' le milieu de [AC], le point I est le milieu de [BB'] car I est barycentre de A1;C1;B2 donc de O2;B2. I est donc le milieu de la médiane relative au côté [AC] (hypoténuse)

I est barycentre de A1;C1;B2 donc MA+2MB+2MC=4MI démonstration à l'aide de la relation de chasles
4vect(MI)=vect(CA) équivaut à vect(MI)=(1/4)vect(CA)
D'après la réciproque du thm des milieux appliquée au triangle BB'C, l'ensemble de points se résume à un unique point, le milieu du segment [BC]
rappels, 2 vecteurs colinéaires sont portés par des droites parallèles, donc (MI)//(AC)

ensuite en passant aux normes, on cherche les points M, tels que
MI=(1/4)CA : c'est le cercle de centre I et de rayon AC/4

en effet, comme précédemment, on invoque le thm des milieux :
I=m[BB'], on a AB'=CB'=BB', soit J le milieu de [BC], on a alors IJ=B'C/2=AC/4, de même soit K le milieu de AB, IK=IJ=AC/4
on a précisé plus haut que comme dans un triangle rectangle la médiane issue de l'angle droit mesure la moitié de l'hypoténuse, on a BB'=AC/2 donc BI=BB'=AC/4

cqfd

Mais tu n'a pas démontrer que I est le milieu de BB', non ?

Bonjour,

J'explicite , si tu as besoin , en attendant que stephaneenligne soit en ligne .

Soit B' le milieu de [AC]

Relation de Chasles :

$\text{\vec{ia}+\vec{ic}=\vec{ib'}+\vec{b'a}+\vec{ib'}+\vec{b'c}=2\vec{ib'}+\vec{ba'}+\vec{b'c}=2\vec{ib'} car ................$

La relation de départ

$\text{\vec{ia} + 2\vec{ib} + \vec{ic} = \vec{0} peut s'ecrire :$

$\text{2\vec{ib}+2\vec{ib'}=\vec{0}$

Donc
$\text{\vec{ib}+\vec{ib'}=\vec{0}$

Donc
$\text{\vec{ib}=-\vec{ib'}$

Donc I milieu de .......................