Scinder: Démonstration par récurrence



  • Ok, merci beaucoup Zauctore.

    Vous pouvez m'aider sut cet exo svp:

    n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2.
    f(n) est l'entier naturel défini par f(n) = n4n^4 + n 3^3 + n² + n + 1.
    1.a Vérifier que (n-1)f(n) = n5n^5 - 1.
    b) En déduire que n5n^5 - 1 est divisible par f(n).

    2.a En déduire que n10n^{10} - 1, n15n^{15} - 1, n20n^{20} - 1 sont divisibles par n5n^5 -1.
    Démontrer que ces mêmes entiers sont divisibles par f(n).

    1. Quel est le reste dans la division de f(n5f(n^5 ) par f(n).

    1-a-b --> OK

    2.a Je pense être assez sûr de cette réponses mais bon :
    On a démontré que pour tout réel x,
    xnx^n - 1 = (x - 1)(xn11)(x^{n-1} + xn2x^{n-2} + ... + x + 1).
    Or pour x = n, on a :
    n10n^{10} - 1 = (n1)(n9(n-1)(n^9 +n8+n^8 +n7+n^7 +n6+n^6 +n5+n^5 +n4+n^4 +n3+n^3 +n² + n + 1)
    = (n1)f(n)(n5(n-1)f(n)(n^5 +1)
    = (n5(n^5 1)(n5-1)(n^5 +1)

    Donc n5n^5 -1 divise n10n^{10} -1. (car (n5(n^5 +1) € N avec n >= 2.

    Est ce bon?

    Merci pour vos réponses ! 😁



  • (En dirait que j'ai crée qqch sur le forum : scinder, 😕)

    Sinon, j'ai aussi à faire complètement le 2a) 😄

    Il me reste que le 3, mais j'suis bloqué ! 😡

    Est ce que je peux dire que le reste dans la division de n20n^{20} , de n15n^{15} , de n10n^{10} , n5n^5 , par f(n) est égale à 1, donc le reste de f(n5f(n^5 ) par f(n) est 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5. ??

    f(n5f(n^5 ) = n20n^{20} +n15+n^{15} +n10+n^{10} +n5+n^5 + 1



  • je dirais la même chose.


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