Scinder: Démonstration par récurrence

Ok, merci beaucoup Zauctore.

Vous pouvez m'aider sut cet exo svp:

n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2.
f(n) est l'entier naturel défini par f(n) = $n^4$ + n $^3$ + n² + n + 1.
1.a Vérifier que (n-1)f(n) = $n^5$ - 1.
b) En déduire que $n^5$ - 1 est divisible par f(n).

2.a En déduire que $n^{10}$ - 1, $n^{15}$ - 1, $n^{20}$ - 1 sont divisibles par $n^5$ -1.
Démontrer que ces mêmes entiers sont divisibles par f(n).

Quel est le reste dans la division de $f(n^5$ ) par f(n).

1-a-b --> OK

2.a Je pense être assez sûr de cette réponses mais bon :
On a démontré que pour tout réel x,
$x^n$ - 1 = (x - $1)(x^{n-1}$ + $x^{n-2}$ + ... + x + 1).
Or pour x = n, on a :
$n^{10}$ - 1 = $n-1)(n^9$ $n^8$ $n^7$ $n^6$ $n^5$ $n^4$ $n^3$ +n² + n + 1)
= $n-1)f(n)(n^5$ +1)
= $n^5$ $1)(n^5$ +1)

Donc $n^5$ -1 divise $n^{10}$ -1. (car $n^5$ +1) € N avec n >= 2.

Est ce bon?

Merci pour vos réponses !

(En dirait que j'ai crée qqch sur le forum : scinder, )

Sinon, j'ai aussi à faire complètement le 2a)

Il me reste que le 3, mais j'suis bloqué !

Est ce que je peux dire que le reste dans la division de $n^{20}$ , de $n^{15}$ , de $n^{10}$ , $n^5$ , par f(n) est égale à 1, donc le reste de $f(n^5$ ) par f(n) est 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5. ??

$f(n^5$ ) = $n^{20}$ $n^{15}$ $n^{10}$ $n^5$ + 1

je dirais la même chose.