Second degré et cercles



  • Bonjour
    alor voila le debut de mon exercice
    si quelqu'un peut m'aider a me mettre sur la voie je le remercie d'avance

    On se propose de résoudre par une construction geometrique tte equation du second degré.
    Soit ax^2 +bx+c=0.
    Dans un repere(O ; i^\rightarrow, j^\rightarrow) orthonormal,
    on place les pts I,A,B,C definis par:
    OI^\rightarrow = i^\rightarrow
    IA^\rightarrow = a i^\rightarrow
    AB^\rightarrow = b j^\rightarrow
    BC^\rightarrow = -c i^\rightarrow

    A tout point P de coordonnées (o,(alpha)),
    on associe le point N de la droite (BC) construit de la façon suivante :
    la droite (PI) coupe (AB) en un point M ;
    la perpendiculaire en M à (PM) coupe (BC) en N.

    1. calculer les coordonnées de M puis celles de N.

    Je n'ai jamais eu d'exo de ce type si on pouvait me mettre sur voie.
    Merci



  • Salut et bienvenue, Elise.

    Il me semble que :

    1° M est sur (AB), alors M(a+1 ; yMy_M);

    2° la droite (PI) a pour équation : y = -(alpha)x + (alpha)
    donc yMy_M = -(alpha)(a+1) + (alpha) = -a(alpha).



  • le repère est orthonormal, donc en particulier ||i^\rightarrow|| = 1.



  • exact j'avais trouvé et pourquoi sur l'équation -(alpha)



  • le coefficient directeur, Elise...
    pour y = u x + v
    u = (yP(y_P - yy_I)/(xP)/(x_P - xIx_I)
    ça te rappelle rien, (delta)y/(delta)x ?



  • ba en effet aprés reflexion c'est ce qui me semblait mais je préferait etre sur par contre le hic c pour les coordonnées de N ca commence par xm=-c+1 mais il manque BN



  • déjà, on a yNy_N = b



  • oui dc pour xn il faut se servir des equations de droite aussi



  • Bon alors j'ai un début de truc, mais c'est pas très beau...
    C'est une histoire de triangles rectangles semblables.

    Tu dois pouvoir montrer que les angles OIP (sommet I), AIM (sommet I) et BMN (sommet M) sont égaux.
    Avec par exemple la tangente de cet angle, tu aboutis à
    OP/OI = BN/MB.
    Il me semble qu'on peut en tirer BN, et donc ON ; ça me paraît un peu tortueux...

    ici, ily a une erreur sur ON, voir plus bas



  • c'est trés tortueux (de plus moi et les tangentes...)
    et quel est la rapport avec les equations et inéquations ?



  • Minute, petit scarabée !
    Après calcul, (MB = b + a(alpha), BN = (alpha) (b + a(alpha))...)
    on arrive à ON = OB + BN = a(alpha)² + b (alpha) + a + 1.

    ici il y a une erreur sur ON, voir plus bas



  • Pour la question 2 (j'ai ton énoncé sous les yeux), dire que N est confondu avec C se traduit par ON = OC et donc
    a(alpha)² + b(alpha) + a + 1 = a + 1 - c
    c'est-à-dire
    a(alpha)² + b(alpha) + c = 0.
    Voilà le lien que tu attends !

    ici, il y a une erreur sur ON, voir plus bas.



  • Je comprends la difficulté : ça n'a pas été si facile pour moi !
    Bon alors j'essaie de reprendre :

    • tu vois que les triangles POI et MAI sont rectangles,
      et que les angles OIP (sommet I), AIM (sommet I) sont égaux, car opposés par e sommet ;
    • le triangle MNB est lui-aussi rectangle, et l'angle BMN (sommet M) est égal à l'angle AIM (sommet I) - c'est le seul truc un peu dur à voir.


  • tu as mon exo sous les yeux?mais ca fait quoi les coordonnées de N dc car j'arrive pas a faire les angles



  • je t'ai donné ON, c'est à dire xNx_N à 20:22,
    et yny_n = b.

    ici il y a une erreur sur ON, voir plus bas



  • ah daccord et pourquoi avec BN on trouve ON
    tu reste connecté jusqu'a quelle heure ?

    • (évite la syntaxe SMS, s'il te plaît) *


  • je reprends... quand tu te seras convaincue que les angles dont j'ai parlé avant sont égaux, leur tangente est
    OP/OI = MA/IA = NB/MB
    dans chacun des triangles ; l'égalité utile est OP/OI = NB/MB.



  • Ah pardon (mea culpa !) : ce n'est pas ON : je regardais ça sur la droite (BN).
    Remplace OB par OA segment qui lui est égal - ouais enfin je me comprends je parlais de
    xNx_N = OA + BN. Mais en fait ça change rien, on a

    xNx_N = a (alpha)² + b(alpha) + a + 1.



  • dc N(a+1;b)et M(a+1;(alpha)a)



  • Non : N(a+1 + BN ; b)
    c'est pour ça que je voulais calculer BN
    et BN, c'est a(alpha)² + b(alpha).



  • comment on sait que BN=a(alpha)^2 +b(alpha)



  • avec mes histoires de tangente, tu as
    OP/OI = NB/MB
    c'est-à-dire
    (alpha) = NB/(b + a(alpha)).



  • j'avais trouvé ouais je suis pas si nulle que ça enfin
    reprenons dc M(1+a;(alpha)a) et N(a(alpha)² +b(alpha)+a+1)



  • pour ym c'est -(alpha) ou (alpha)



  • j'ai trouvé yMy_M = -a(alpha), il me semble...



  • pour la 3, c'est tout simple : un théorème de 4e te dit que lorsque IMN est un angle droit, alors M est sur le cercle de diamètre [IN]... n'est-ce pas ? Alors, lorsque N est en C, etc... je te laisse finir.



  • P(0 ; (alpha)) et a(alpha)² + b(alpha) + c = 0 pour le lien entre l'ordonnée de P et l'équation.



  • lorque N est en C, M est tjrs sur le cercle mais quelle est la suite du theoreme dont tu me parle de plus comment decrire la facon de construire les points P il n'y en a qu'un non?



  • le théorème de 4e : l'hypoténuse d'un triangle rectangle est un diamètre du cercle circonscrit à ce triangle. tu peux aller lire ce condensé de cours, réalisé (avec peine) pour combler tes trous de mémoire !



  • On commencera par tracer le point d'intersection du cercle de diamètre [IC] avec la droite (AB) - ce qui donne 0, 1 ou bien 2 solutions. Ce seront les points M. Alors la droite (MI) coupera (Oy) en P.
    Réfléchis à cela.


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